Anche l'iperbole è un luogo geometrico. [br][br]Come nel caso dell'ellisse, vengono fissati due punti detti fuochi, chiamati come al solito [math]F_1[/math] e [math]F_2[/math]. Similmente a quanto fatto per l'ellisse, [b]considereremo innanzitutto un'iperbole riferita agli assi[/b], cioè i cui fuochi giacciono sull'asse delle [math]\text{x}[/math].[br][br]La caratteristica comune a tutti i punti dell'iperbole è questa: per ogni punto la differenza tra la distanza tra un fuoco e la distanza dell'altro fuoco è costante. Anche in questo caso il valore di questa costante è rappresentato dall'espressione [math]2a[/math].[br][br]Questo equivale a dire che[br][center][math]\left| \overline{PF_1}-\overline{PF_2} \right|=2a[/math][/center][br]Da notare che in questo caso è necessario utilizzare un modulo, perché la differenza potrebbe risultare negativa.[br][br]L'iperbole è più complessa dell'ellisse, sia perché i calcoli per ottenere la sua equazione sono più complessi, sia perché la proprietà dei suoi punti non può essere interpretata in modo visivo.[br][br]Come nel caso dell'ellisse, i fuochi sono sull'asse x ed hanno coordinate [math]F_1\left(-c,0\right)[/math] e [math]F_2\left(c,0\right)[/math]. Calcolando le espressioni contenute nella formula otterremo qualcosa di simile al caso dell'ellisse:[br][br][center][math]\left| \sqrt{\left(x+c\right)^2+ y^2}-\sqrt{\left(x-c\right)^2+ y^2}\right|=2a[/math][/center]Dopo aver svolto i calcoli, che sono ancora più complessi anche a causa della presenza del valore assoluto, si ottiene che nel caso semplice che abbiamo scelto noi la formula dell'iperbole diventa molto semplice:[br][br][center][math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math][/center]Come nel caso dell'ellisse [math]a[/math] è la quantità che compare nella definizione iniziale, mentre [math]b[/math] è legato ad [math]a[/math] ed alla distanza focale [math]c[/math] da una relazione di tipo Pitagorico, solo che in questo caso il ruolo dell'ipotenusa è svolto dalla distanza focale:[br][br][center][math]c^2=a^2+b^2[/math][/center]Visualizziamo tutti questi concetti nell'animazione qui sotto.

[color=#ff0000][size=100][size=150]VERIFICA DELLE INTERSEZIONI[/size][/size][/color][br]Anche se non abbiamo svolto tutti i calcoli per l'iperbole come abbiamo fatto nel caso dell'ellisse, possiamo verificare la coerenza di alcune delle caratteristiche individuate, ed in particolare le intersezioni con gli assi. [br][br]Se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]\large{x}[/math] infatti troviamo, similmente a quanto ottenuto per l'ellisse:[br][br][math]\large{\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\y=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{x^2}{a^2}-\frac{\textcolor{red}{0}^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{a^2 \cdot}\frac{x^2}{a^2}=1\textcolor{red}{\cdot a^2}\rightarrow\ \ x^2=a^2\rightarrow\ \ x=\pm a}[/math][br][br]Quindi l'iperbole incontra l'asse [math]\large{x}[/math] nei punti [math]\large{A_1\left(-a, 0\right)}[/math] e [math]\large{A_2\left(a, 0\right)}[/math]. Questi due punti sono detti [b][color=#ff0000]vertici reali[/color][/b] dell'iperbole.[br][br]Se invece cerchiamo le intersezioni con l'asse delle [math]\large{y}[/math] otteniamo un risultato molto diverso: [br][br][math]\large{\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\x=0\end{array}\right.\rightarrow\ \ \frac{\textcolor{red}{0}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\rightarrow\ \ \textcolor{red}{-b^2 \cdot}\left (\frac{y^2}{b^2}\right )=1\textcolor{red}{\cdot (-b^2)}\rightarrow\ \ y^2=-b^2\rightarrow\ \ y=\pm \sqrt{-b^2}}[/math][br][br]Poiché [math]\large{b^2}[/math] è una quantità non negativa (in realtà è sempre positiva, perché il caso [math]\large{b=0}[/math] non è compatibile con l'equazione dell'iperbole), [math]\large{-b^2}[/math] è una quantità negativa, della quale quindi non è possibile estrarre la radice quadrata. Di conseguenza l'iperbole non ha intersezioni con l'asse delle [math]\large{y}[/math], ed i punti [math]\large{B_1\left(0, -b\right)}[/math] e [math]\large{B_2\left(0, b\right)}[/math]sono detti [b][color=#ff0000]vertici virtuali[/color][/b] dell'iperbole. [br][br]Il parametro [math]\large{b}[/math] non ha quindi nessun significato geometrico immediato, ma è molto utile (anche visivamente) per definire gli asintoti dell'iperbole, che approfondiremo nel prossimo paragrafo.[br][br][color=#ff0000][size=100][size=150]ASINTOTI, LIMITI E L'INFINITO[/size][/size][/color][br]Approfondiamo il concetto di asintoto. Dal disegno nell'animazione precedente vediamo che l'iperbole sembra avvicinarsi sempre più alle rette che abbiamo tracciato, imitandone l'andamento mano a mano che si considerano valori di [math]\large{x}[/math] sempre più grandi positivi (cioè verso destra) o negativi (verso sinistra). L'immagine qui sotto utilizza una scala che mostra in modo più chiaro questo tipo di comportamento.[br]

Vediamo come si comporta l'iperbole in questa parte del piano. Innanzitutto ricaviamo la [math]\large{y}[/math] dall'equazione dell'iperbole, in modo da confrontarla con quella delle rette che svolgono il ruolo di asintoto. Otteniamo:[br][br][math]\Large{y^2= b^2 \left (\frac{x^2}{a^2}-1 \right ) \quad \longrightarrow \quad y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}}[/math][br][br]Volendo portar fuori la [math]\large{x}[/math] (ed intanto che ci siamo anche la [math]\large{a}[/math]) raccogliamo [math]\large{\frac{x}{a}}[/math] sotto la radice:[br][br][math]\Large{y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}\left (1- \frac{a^2}{x^2} \right )}}[/math][br][br]Abbiamo raccolto anche se il fattore non era presente in tutti i termini al radicando; possiamo verificare che eseguendo il prodotto che abbiamo creato si ottiene il radicando di partenza, e quindi le due espressioni sono equivalenti. A questo punto possiamo portare fuori il fattore prima della parentesi. [br][br][math]\Large{y=\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \frac{a^2}{x^2}}}[/math][br][br]Se ora valutiamo questa espressione per valori di [math]\large{x}[/math] molto grandi (sia positivi che negativi), notiamo che al frazione che compare sotto la radice dà dei risultati sempre più piccoli: [math]\large{a^2}[/math] è un certo numero, comunque finito, mentre all'aumentare di [math]\large{x}[/math] il denominatore [math]\large{x^2}[/math] diventa un valore sempre più grande, [b]senza limiti[/b], e quindi la frazione dà un risultato sempre più piccolo, [b]che tende a zero[/b].[br][br][math]\Large{\lim_{x \to +\infty}\frac{a^2}{x^2}=0}[/math][br][br]Il simbolo [math]\large{\infty}[/math] introduce il concetto di [b]infinito[/b], che viene definito come una quantità maggiore di qualsiasi numero sia possibile immaginare. La scrittura [math]\large{x \to +\infty}[/math] si legge "[math]\large{x}[/math] tende a più infinito" ed indica che stiamo considerando valori di [math]\large{x}[/math] sempre più vicini all'infinito, e quindi sempre più grandi (analogamente scrivendo [math]\large{x \to -\infty}[/math] indichiamo che stiamo considerando valori di [math]\large{x}[/math] [i]negativi[/i] e sempre più grandi in valore assoluto). [br][br]La scrittura [math]\large{\lim_{x \to +\infty}}[/math] si legge "limite per [math]\large{x}[/math] che tende a più infinito di..." ed indica appunto che stiamo studiando come si comporta il risultato dell'espressione quando la valutiamo per valori di [math]\large{x}[/math] in quella zona del piano cartesiano (in questo caso per valori molto grandi). [br][br]Il limite è uno strumento dell'analisi e viene usato per calcolare il valore a cui si avvicina il risultato di una data espressione. In questo caso ci aiuta a capire che la frazione sotto la radice diventa un contributo sempre più trascurabile, mano a mano che si considerano [math]\large{x}[/math] maggiori, e quindi la radice dà un risultato sempre più simile ad [math]\large{1}[/math], con la conseguenza che la [math]\large{y}[/math] che otteniamo diventa sempre più simile a quelle degli asintoti. Possiamo formalizzare questa descrizione con la scrittura[br][br][math]\Large{\lim_{x \to +\infty}\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \textcolor{red}{\frac{a^2}{x^2}}}\quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1-\textcolor{red}{0}} \quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x\sqrt{1}\quad \approx \quad \pm \frac{b}{a}x}[/math][br][br]In questo caso abbiamo usato la scrittura in forma simbolica per indicare che la funzione, quando è considerata per [math]\large{x}[/math] molto grandi e positivi, assume un comportamento molto simile a quello degli asintoti. Abbiamo visto che le stesse considerazioni valgono quando valutiamo la funzione per valori di [math]\large{x}[/math] molto grandi e [i]negativi[/i], e quindi possiamo scrivere anche:[br][br][math]\Large{\lim_{x \to -\infty}\pm \frac{b}{a}x\sqrt{1- \frac{a^2}{x^2}} \approx \pm \frac{b}{a}x}[/math]

[size=150][color=#ff0000]LE IPERBOLI CON FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y[br][/color][/size]Se ripetiamo i ragionamenti visti finora ma collochiamo i fuochi sull'asse delle [math]\large{y}[/math] invece che sull'asse delle [math]\large{x}[/math], l'equazione cambia ed il segno meno precede il termine in [math]\large{x}[/math], diventando quindi [br][br][center][math]\Large{\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1}[/math][/center][br][br]La relazione tra i coefficienti [math]\large{a}[/math], [math]\large{b}[/math] e [math]\large{c}[/math] invece rimane invariata:[br][br][center][math]\Large{c^2=a^2+b^2}[/math][/center][br][br]e la distanza focale resta quindi il valore maggiore tra i tre.[br][br]Anche le equazioni dei due asintoti rimangono identiche, come si vede nell'immagine riprodotta sotto.