[list][size=150][*][size=100]3. stol. př. n. l.[/size][/*][*][size=100]metoda vyčerpávání - Pokud do kružnice vepíšeme pravidelný mnohoúhelník a další pravidelný mnohoúhelník jí opíšeme, obvod kružnice musí ležet vždy přesně mezi obvody těchto dvou mnohoúhelníků.[/size][/*][/size][*]Je dána kružnice s průměrem [math]d=1[/math]. Její délka se rovná přesně [math]\pi[/math].[/*][*]1. krok iterace: Výchozí mnohoúhelník - pravidelný šestiúhelník.[/*][/list]   [math]p_6=3[/math][size=150][br] [math]P_6=2\sqrt{3}\approx3.464[/math][/size][br][list][*]2. a další krok iterace: mnohoúhelník s dvojnásobným počtem vrcholů, použití Pythagorovy věty k výpočtu nových délek stran na základě znalosti rozměrů předchozího mnohoúhelníku[br][/*][/list]   [math]6\longrightarrow12\longrightarrow24\longrightarrow48\longrightarrow96[/math][br][list][*]Archimedes pracoval pouze se zlomky, pro 96-úhelník stanovil [math]3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{10}{70}[/math][br](přibližně [math]3.1408<\pi<3.1429[/math])[/*][*][b]Obvod nového opsaného mnohoúhelníku[/b] se spočítá jako [i]harmonický průměr[/i] předchozích obvodů:[/*][/list] [math]P_{2n}=\frac{2\cdot p_n\cdot P_n}{p_n+P_n}[/math][br][list][*][b]Obvod nového vepsaného mnohoúhelníku[/b] se následně spočítá jako [i]geometrický průměr[/i] starého vepsaného a nově vypočteného opsaného obvodu:[/*][/list] [math]p_{2n}=\sqrt{p_n\cdot P_{2n}}[/math]