Imaginemos que estamos en una competición de atletismo, donde participan 4 alumnos del [b]grupo A[/b], 3 del [b]grupo B[/b] y 5 del [b]grupo C[/b].[br]Como son [b]12 alumnos[/b], sabemos que pueden colocarse de 12!=12·11·12·...·3·2·1 formas, que es un número muy grande. [br][size=85](*) Si no estamos muy seguros de cómo funcionan los números factoriales podemos, como iniciación a las técnicas de recuento "combinatoria", visitar la actividad "[url=https://www.geogebra.org/m/xevrphbn]Variaciones y permutaciones. El orden importa[/url]".[br]También recomendamos visitar la actividad "[url=https://www.geogebra.org/m/tcqwawrm]Combinaciones y variaciones. ¿Importa el orden?[/url]" para estar más familiarizado con las técnicas de recuento y los razonamientos con ellas.[br][/size][br]Pero puede ocurrir que a nuestros organizadores lo que les interese no es la persona concreta sino el orden en que va saliendo gente de cada grupo. Por ejemplo: grupos A, B, B, C... Tenemos que recolocar 12 elementos, pero teniendo en cuenta que hay un grupo de 4 "iguales", otro de 3 y otro de 5.[br][br]En combinatoria, las formas de recolocar elementos cuando hay repetidos, se denominan [b]Permutaciones con repetición[/b]. En este caso, escribiríamos [math]PR_{12}^{4,3,5}[/math], indicando cuántos elementos hay en total y cuántos repetidos en cada grupo.[br][br][b]¿Cómo calcularlas?[/b][br]Podemos pensar que por cada una configuración de las 12!, hay muchas que nos van a dar igual, ya que podríamos intercambiar el orden en los que salen los 4 alumnos del grupo A, y el resultado seguiría siendo el mismo (los grupos salen en el mismo orden, aunque las personas vayan a ser diferentes).[br][list][*]Por eso, tendríamos que dividir las 12! posibilidades entre las posibles 4! recolocaciones del grupo A.[/*][*]Pero igual ocurriría con las 3! posibles recolocaciones del grupo B.[/*][*]E igual con las 5! del grupo C.[/*][/list]Como resultado, tenemos que las posibilidades son: [math]PR_{12}^{4,3,5}=\frac{12!}{4!\cdot 3!\cdot 5!}=27\,720[/math]. [br]¡Son muchas! [br]Y normalmente es así, suelen ser tantas que no podríamos hacer un diagrama en árbol para representarlas todas.[br][br]Más abajo, en la actividad "Contando pegatinas. Permutaciones, combinaciones y variaciones" podemos ver más ejemplos de permutaciones con repetición y cómo se calculan. Además, veremos que, curiosamente, las combinaciones y las variaciones pueden interpretarse como un caso concreto de permutaciones con repetición. Seleccionando los diferentes ejemplos, podemos ver las explicaciones detalladas.
[list][*]Comenzaremos viendo varios ejemplos y cómo se hace el cálculo. Marcando la casilla "Ver solución", veremos el resultado y además, usando la casilla "Explica", veremos los razonamientos correspondientes para obtenerlo.[/*][*]El desplegable central nos permite elegir también la interpretación de las combinaciones y las variaciones a partir de permutaciones. Una vez que entendamos buen las permutaciones con repetición, pasaremos a ver esos ejemplos y sus explicaciones.[/*][*]Cuando lo tengamos claro intentaremos ir resolviendo nosotros diferentes ejemplos, asegurándonos de saber identificar qué elementos aparecen, si son permutaciones, combinaciones o variaciones, y qué fórmula sería la adecuada para el cálculo, junto con los símbolos utilizados para designar estos recuentos: [b]PR,[/b] [b]V[/b], [b]VR[/b], [b]P[/b], [b]C[/b] y números factoriales.[/*][*]Por último, resolveremos los ejercicios que nos proponen al pulsar el botón "Ejercicios".[/*][list][*]Podemos introducir la solución utilizando [b]fracciones[/b] y [b]factoriales[/b].[/*][*]Cada ejercicio correcto vale 1 punto, pero cada fallo también penaliza 1 punto.[/*][*]Recuerda que debes practicar con los ejercicios una vez ya hayas aprendido las fórmulas (practicando antes con los ejemplos) y puedas hacer los cálculos usándolas, sin tener por qué recurrir a dibujar el diagrama en árbol.[/*][*]Se conservará la información de la máxima puntuación alcanzada.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][/list][/list][br]¿Necesitamos saber cuántos hay de cada dibujo o en total?[list][*]A veces es difícil contar cosas que se mueven o están descolocadas.[/*][*]Por eso, tenemos el botón "Organiza", que preparará los dibujos para que los contemos bien [br]¡ojalá mi habitación se ordenase así de fácil! [br]Usar el botón no penaliza en las calificaciones.[/*][*]También podemos parar/reactivar el movimiento, con la casilla "Movimiento".[/*][/list]
Vamos a pensar en otras [b]dos situaciones[/b] en que tengamos que recolocar elementos en los que algunos están repetidos. Haremos una con 3 grupos y otra con al menos 4.[br]Es importante considerar que por ahora, el orden sí que es importante, porque estamos viendo cómo quedarían, ordenados, todos los elementos de los que hablamos.[br][br]Para cada situación, haremos un análisis como los realizados anteriormente para determinar cuántas posibilidades hay. Seguramente sean muchas, así que no podremos representarlas en árbol.[br][br]----------[br]Por último, anotaremos en el [b]porfolio [/b]de clase o aquí lo que hemos aprendido y si nos parecen útiles estas formas de enumerar usando combinatoria.[br]¿Sabías que, internamente, los ordenadores usan diagramas en árbol gigantescos y cálculos combinatorios para tomar decisiones como al jugar al ajedrez, aplicar IA, etc.? Es la forma que tienen de ir representando "qué puede ocurrir" y poder analizar qué hacer en las opciones posibles.[br][br]No te olvides de escribir si esta actividad te ha resultado divertida y curiosa. [br][list][*]¿Crees que te ha ayudado a aprender a usar las matemáticas? [/*][*]¿Te parece interesante la combinatoria? [/*][*]¿alguna vez te habías parado a pensar que el simple hecho de contar pudiese ser tan complejo que necesitase una rama específica de las matemáticas para ello?[/*][/list]
Fuentes de las imágenes (licencias CC BY SA y [url=https://openclipart.org/share]openclipart[/url]):[br][list][*][size=85][url=https://www.ciem.unican.es/matesgg-matematicas-con-geogebra/]Personajes[/url], pertenecientes al [url=https://intef.es/recursos-educativos/recursos-para-el-aprendizaje-en-linea/matesgg/]proyecto MatesGG[/url]. (CC BY-SA)[/size][/*][*][size=85]Melocotón: [url=https://openclipart.org/image/400px/308905]https://openclipart.org/image/400px/308905[/url][/size][/*][*][size=85]Globo: [url=https://openclipart.org/detail/17916/balloon-5]https://openclipart.org/detail/17916/balloon-5[/url][br][/size][/*][*][size=85]Pollito: [url=https://openclipart.org/detail/240554/fluffy-chick-1]https://openclipart.org/detail/240554/fluffy-chick-1[/url][/size][/*][*][size=85]Manzana: [url=https://openclipart.org/image/400px/8538]https://openclipart.org/image/400px/8538[/url][/size][/*][*][size=85]Pera: [url=https://openclipart.org/image/400px/8535]https://openclipart.org/image/400px/8535[/url][/size][/*][*][size=85]Osito: [url=https://openclipart.org/detail/87535/funny-teddy-bear-face-brown]https://openclipart.org/detail/87535/funny-teddy-bear-face-brown[/url][/size][/*][*][size=85]Mono: [url=https://openclipart.org/detail/81865/funny-monkey-face]https://openclipart.org/detail/81865/funny-monkey-face[/url][/size][/*][*][size=85]Pelota: [url=https://openclipart.org/detail/325276/beach-ball]https://openclipart.org/detail/325276/beach-ball[/url][/size][/*][*][size=85]Galleta: [url=https://openclipart.org/detail/249534/cookie]https://openclipart.org/detail/249534/cookie[/url][/size][/*][*][size=85]Pizza: [url=https://openclipart.org/detail/320979/pizza]https://openclipart.org/detail/320979/pizza[/url][/size][/*][*][size=85]Ovni: [url=https://openclipart.org/detail/20150/ufo-in-cartoon-style]https://openclipart.org/detail/20150/ufo-in-cartoon-style[/url][/size][/*][*][size=85]Alien: [url=https://openclipart.org/detail/218422/silly-alien-in-the-style-of-lemmling]https://openclipart.org/detail/218422/silly-alien-in-the-style-of-lemmling[/url][/size][/*][*][size=85]Monstruo: [url=https://openclipart.org/detail/216121/monster-01]https://openclipart.org/detail/216121/monster-01[/url][/size][/*][*][size=85]Conejito: [url=https://openclipart.org/detail/192661/pink-rabbit-lapin-rose]https://openclipart.org/detail/192661/pink-rabbit-lapin-rose[/url][/size][/*][/list]