Un'equazione [b]irrazionale elementare semplice[/b] del tipo:[br][center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}= P(x)\quad n\ge2[/math][/center]si risolve nel modo seguente[br][list][*]Se [b]n è dispari[/b][center][math]\large\sqrt[n]{R\left(x\right)}=a\ \longrightarrow\ \bf\it R\left(x\right)=\left[P(x)\right]^n[/math][/center][/*][*]Se [b]n è pari[/b][center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}=P(x)\ \longrightarrow\ \bf\it\begin{cases}R\left(x\right)=\left[P(x)\right]^n\\[br]P(x)\ge0\end{cases} [/math][/center][/*][/list]

Per semplicità gli esercizi proposti avranno solo [b]radici quadrate[/b], per il caso pari, e [b]radici cubiche[/b], per il caso dispari.

1)Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \sqrt{4x+9}=x+3[/math][/center]Essendo l'indice di radice pari, il secondo membro dovrà essere maggiore o uguale a zero ([b]condizione di coerenza dei segni[/b]) e la risoluzione richiederà l'elevamento a potenza di entrambi i membri:[br][math]\begin{cases}4x+9=\left(x+3\right)^2\\[br]x+3\ge0\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}4x+\cancel{9}=x^2+6x+\cancel{9}\\[br]x\ge-3\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}x^2+2x=0\ \\[br]x\ge-3\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}x\cdot\left(x+2\right)=0\begin{matrix}\nearrow&\bf x=0\\[br]\searrow&\bf x=-2\end{matrix}\ \\[br]x\ge-3\end{cases}[/math][br]Entrambe le soluzioni sono accettabili perché [b]verificano [/b]la condizione di coerenza dei segni.[br][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]2)Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \sqrt{x+6}=x[/math][/center]Essendo l'indice di radice pari, il secondo membro dovrà essere maggiore o uguale a zero ([b]condizione di coerenza dei segni[/b]) e la risoluzione richiederà l'elevamento a potenza di entrambi i membri:[br][math]\begin{array}{l}\begin{cases}x+6=x^2\\ x\ge0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}x^2-x-6=0\\ x\ge0\end{cases}\longrightarrow\\ x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}=\begin{matrix}\nearrow&x=-2\ \text{ (non accettabile)}\\ \searrow&x=3\ \end{matrix}\end{array} [/math][br]Solo [b]una [/b]delle soluzioni è accettabile in quanto verifica la condizione di coerenza dei segni.[br][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]3)Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \sqrt{-2 x^{2}+3}=x-2[/math][/center]Essendo l'indice di radice pari, il secondo membro dovrà essere maggiore o uguale a zero ([b]condizione di coerenza dei segni[/b]) e la risoluzione richiederà l'elevamento a potenza di entrambi i membri:[br][math]\begin{array}{l}\begin{cases}-2x^2+3=\left(x-2\right)^2\\[br]x-2\ge0\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}-2x^2+3=x^2-4x+4\\[br]x\ge2\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}3x^2-4x+1=0\\[br]x\ge2\end{cases}\longrightarrow\\[br]x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{6}=\frac{4\pm2}{6}=\begin{matrix}\nearrow&x=\frac{1}{3}\ \text{ (non accettabile)}\\ \searrow&x=1\ \text{ (non accettabile)}\end{matrix}\end{array}[/math][br]Entrambe le soluzioni [b]non sono accettabili[/b] perché [b]non verificano[/b] la condizione di coerenza dei segni.

Nella risoluzione dell'equazione irrazionale [b]non è necessaria la C.E[/b]. del radicando in quanto nello sviluppo viene posto uguale ad un [b]quadrato [/b]che è sicuramente [b]maggiore o uguale a zero[/b].

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Valori max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"n° Sol." [/b]è possibile impostare la generazione di equazioni con un numero stabilito di [b]soluzioni accettabili[/b].[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

Risolvere la seguente equazione:[br][center][math]\large \sqrt[3]{x^{3}-x^{2}+7 x-12}=x[/math][/center]Essendo l'indice di radice [b]dispari[/b], è [b]sufficiente [/b]il solo elevamento a potenza di entrambi i membri:[br][math]\cancel{x^3}-x^2+7x-12=\cancel{x^3}\ \longrightarrow\ x^2-7x+12=0[/math][br]Si risolve quindi l'equazione algebrica razionale ottenuta:[br][math]x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm1}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf x=3\\[br]\searrow&\bf x=4\end{matrix}[/math]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max." [/b]è possibile il grado della equazione razionale finale[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]