Über das Verfahren der [i]quadratischen Ergänzung[/i], was man schon bei der Bestimmung der Scheitelpunktform benutzt hat, lässt sich eine [b]allgemeine Lösungsformel[/b] für quadratische Gleichungen (besser bekannt als "[b]p-q-Formel"[/b]) bestimmen.[br][br]Im vorliegenden Beispiel sollen die Nullstellen (also die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse) der Parabel zur Funktion [math]f\left(x\right)=x^2+6x+2[/math] bestimmt werden.[br]Dazu lösen wir die quadratische Gleichung [math]x^2+6x+2=0[/math].

[math]x^2+6x+2=0[/math][br][math]\Longleftrightarrow x^2+6x+9-9+2=0[/math] Quadratische Ergänzung:[math]\left(\frac{6}{2}\right)^2=3^2=9[/math][br][math]\Longleftrightarrow\left(x+3\right)^2-7=0[/math] 1. Binomische Formel[br][math]\Longleftrightarrow\left(x+3\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=0[/math] 7 als [math]\left(\sqrt{7}\right)^2[/math] schreiben[br][math]\Longleftrightarrow\left(x+3+\sqrt{7}\right)\cdot\left(x+3-\sqrt{7}\right)=0[/math] 3. Binomische Formel [br][math]\Longleftrightarrow x+3+\sqrt{7}=0\vee x+3-\sqrt{7}=0[/math] Satz vom Nullprodukt[br][math]\Longleftrightarrow x=-3-\sqrt{7}\vee x=-3+\sqrt{7}[/math][br][br][br]Verallgemeinert man dies und setzt für 6 die Variable p und für 2 die Variable q ein, so sieht man, dass in der Lösung die -3 aus [math]-\frac{6}{2}=-\frac{p}{2}[/math] und die 7 aus [math]\left(\frac{6}{2}\right)^2-2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-q[/math] entsteht.[br]Dies führt zur Lösungsformel:

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung [math]x^2+px+q=0[/math] lauten:[br][math]x=-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math] und [math]x=-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}[/math].[br][br][br]Der Radikand (d.h. der Term unter der Wurzel) wird auch als [b]Diskriminante D[/b] bezeichnet. [br]Man unterscheidet drei Fälle:[br][list=1][*]D>0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung [b]zwei [/b]Lösungen (d.h. die Parabel hat zwei Nullstellen).[/*][*]D=0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung [b]eine [/b] Lösung, nämlich [math]x=-\frac{p}{2}[/math] (d.h. die Parabel hat eine Nullstelle und liegt auf der x-Achse).[/*][*]D<0: In diesem Fall hat die quadratische Gleichung [b]keine[/b] Lösung (aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen, die Parabel hat keine Nullstellen, schneidet also nicht die x-Achse)[/*][/list]

Im obigen Beispiel ist p=-6 bzw. p=6, es ist [math]-\frac{p}{2}=+3[/math] bzw[math]-\frac{p}{2}=-3[/math].[br][br]Die Diskrimante für q=+8 beträgt [math]D=\left(\frac{6}{2}\right)^2-8=9-8=1>0[/math], es gibt also zwei Nullstellen 3-1=2 und 3+1=4.[br][br]Für q=9 ist D=9-9=0, die Parabel ist um -p/2=3 auf der x-Achse verschoben.[br][br]Für q=10 ist die Diskriminante D=9-10=-1<0, die Parabel verschiebt sich nach oben, somit gibt es keine Nullstellen mehr.[br]