[br]Wyznaczymy dziedzinę i przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2-2x+1}[/math].[/center]Wykorzystamy następujące twierdzenia:[br]1) Jeśli [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]rosnąca[/b] na przedziale [math]I[/math].[br]2) Jeśli [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in I[/math], to funkcja [math]f[/math] jest [b]malejąca[/b] na przedziale [math]I[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]: [br][math]D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/math]. Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] obliczymy jej pochodną i zbadamy, gdzie przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.

Ponieważ [math]f'(x)<0[/math] dla [math]x\in(1,3)[/math], więc funkcja [math]f[/math] jest malejąca na przedziale [math](1,3)[/math]. [br]Ponieważ [math]f'(x)>0[/math] dla [math]x\in (-\infty,0)\cup(0,1)\cup (3,+\infty)[/math], więc [math]f[/math] jest rosnąca na przedziałach [math](-\infty,0)[/math], [math](0,1)[/math] i [math](3,+\infty)[/math]. Ponadto uwzględniając fakt, iż funkcja [math]f[/math] jest ciągła w punkcie [math]0[/math] wnioskujemy, że jest rosnąca na całym przedziale [math](-\infty,1)[/math].[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:

[br]Wyznacz dziedzinę i przedziały monotoniczności funkcji [math]f[/math] określonej wzorem[center] [math]f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x+1}[/math].[/center]