[b]Teil 1: Ableitung der Exponentialfunktion - graphisch [br][br][/b][u]Arbeitsauftrag 1[/u][br][br]Bewegen Sie den Punkt [math]T(0|1)[/math] mit der Maus entlang des Graphen der Funktion [math]f[/math] und skizzieren Sie mithilfe der Tangentensteigungen den Graphen der Ableitungsfunktion ins Heft.[br][br]Beantworten Sie die Frage:[br]Welch Art von Graphen erhält man graphisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion?

Verschieben Sie erneut den Punkt T und vergleichen die Spur der Steigungsfunktion mit Ihrem Graphen.

[justify][b]Teil 2: Ableitung der Exponentialfunktion - rechnerisch[/b][br][br]Im Folgenden wird die Ableitung der Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] mit dem Differentialquotienten[i] [math]f'\left(x_0\right)=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] [/i]hergeleitet.[/justify][br][u]Arbeitsauftrag 2[/u][br][br]Bringen Sie die einzelnen Schritte für die Ableitung (im unteren Fenster) in die richtige Reihenfolge und erklären Sie die durchgeführten Schritte.

Es gilt [math]lim_{h\longrightarrow0}\frac{a^h-1}{h}=lim_{h\longrightarrow0}\frac{a^{0+h}-a^0}{h}=f'\left(0\right)[/math] [br][br]und daraus folgt: [math]f'\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot f'\left(0\right)[/math][br][br][u][br]Arbeitsauftrag 3[br][br][/u]Übernehmen Sie die Herleitung der Ableitung in Ihr Heft.[br][br]Beantworten Sie die folgende Frage:[br]Welche Art von Term erhält man rechnerisch für die Ableitung einer Exponentialfunktion? [br][br][br][br]Der Wert für [math]f'\left(0\right)[/math] kann für ein beestimmtes [math]a[/math] zum Beispiel graphisch abgeschätzt oder mithilfe einer Wertetabelle durch Berechnung des Quotienten [math]\frac{a^h-1}{h}[/math] für Werte [math]h\longrightarrow0[/math] angenähert werden.[br][br][br]

[color=#000000][b]Teil 3 - Der Spezialfall[/b][u][br][br]Arbeitsauftrag 5[/u][br][br]Variieren Sie die Einstellungen für die Basis [math]a[/math], indem Sie den Schieberegler bewegen. Untersuchen Sie in Abhängigkeit von [math]a[/math] Gemeinsamkeiten (oder Unterschiede) des Graphen und des Ableitungsgraphen.[/color]

[b]T[/b][b]eil 4: Herleitung der e-Funktion[/b][u][br][br]Arbeitsauftrag 6[/u][br][br]Ihnen sollte aufgefallen sein, dass es einen Wert für [math]a[/math] gibt, sodass Funktionsgraph und Graph der Ableitung identisch sind. Laut Ableitungsfunktion [math]f'\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot f'\left(0\right)[/math] ist das genau dann der Fall, wenn [math]f'\left(0\right)=1[/math].[br][br]Es soll jetzt also eine Näherung für dieses [math]a[/math] gefunden werden. Befolgen Sie hierfür die Anweisungen im folgenden Applet.

Diese Zahl wurde von Leonhard Euler "entdeckt" und wird daher Euler'sche Zahl genannt.[br][br]Es gilt [math]e=2,7182818285...[/math] und es handelt sich dabei um eine irrationale Zahl.[br][br]Im Buch auf S. 37 oben wird gezeigt, wie sich dieser rechnerisch angenähert werden kann.