[url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/yvhmvryt]Itt említettük meg[/url] a tetraédernek egy olyan tulajdonságát, amelynek nincs síkbeli megfelelője:[br]A [u]szabályos[/u] tetraéder [i]középgömbje[/i] az a gömb, amely mind a hat [u]élét[/u] érinti. [br][br]Olvasóinkra bízzuk annak a demonstrálását, hogy van olyan tetraéder, amelynek [u]nincs[/u] középgömbje.[br][br]Most olyan tetraédereket adunk meg, majd elemezzük a tulajdonságait, amelyeknek [u]van [/u]középgömbjük. [br][br]

Legyen adott a keresett tetraéder egy csúcsából kiinduló három élét tartalmazó félegyenese! Meg fogjuk szerkeszteni az ezeket érintő gömböt, az adott triéder síkjainak e gömbbel alkotott síkmetszeteit, majd a tetraéder negyedik lapsíkját, amely ezeket a síkmetszetként kapott köröket érinti. Végül rávilágítunk a kapott alakzat néhány további összefüggésére.[br][br]Javasoljuk, hogy az alábbi applet szerkesztéseit a ∥◀ ,◀, ▶, ▶∥ gombokkal vezérelhető lépésekkel kövessék nyomon. Az elemzéseket a rendre megjelenő logikai kapcsolók ki-be kapcsolása segítheti.

[list=1][*]A keresett tetraéder egy csúcsára illeszkedő három él félegyenesét - az általánosság elvét nem sértve - a koordinátarendszer[i] z [/i]tengelyére illeszkedő [i]D[/i] csúcsával, és az [i]xy[/i] síkban fekvő origó középpontú,[i] r=2[/i] sugarú fix körvonalra ([i]k[sub]0[/sub][/i] -ra) illesztett három -mozgatható - pontjával adtuk meg. Az így kapott három félegyenes: ([i]a, b, c[/i]) egyértelműen meghatározza a keresett konvex tetraéder éleit érintő S[i] [/i]gömböt. (A [i]D=(0,0,0[/i]) esetet kizártuk, mert ekkor nem jön létre konvex triéder.)[br][br]Itt nyílik lehetőség arra is, hogy a dinamikus koordináták eszköztárát kihasználva úgy állítsuk be a keresett alakzatot meghatározó pontokat, hogy a keresett tetraéder szabályos legyen.[br]Szerkesztés közben ezt a speciális beállítást a k[sub]0[/sub] kör három köríve és egy vektor segíti.[br][br][/*][*]A [i]k[sub]0[/sub][/i] kör [i]E[sub]a[/sub], E[sub]b[/sub], E[sub]c[/sub],[/i] pontjaira illeszkedő és az [i](a,b,c)[/i] triéder éleit érintő, [i]S[/i]-re illesztett körök lesznek a tetraéder[i] D [/i]csúcsára illeszkedő háromszögek beírt körei. [br][br][/*][*]A feladat kulcslépése a [i]k[sub]a[/sub][/i] körre illeszkedő [i]F[/i][sub][i]a[/i] [/sub]pont előállítása, amely a keresett tetraéder [i] BC [/i]oldalának az [i]S[/i]-sel alkotott érintési pontja.[br] [br]Megszerkesztése a kör külső pontjából húzott érintőtávolság, a ponthoz és az adott körhöz tartozó [url=http://www.mathelp.hon-lapja.hu/portals/ematek/www.sulinet.hu/ematek/html/szelo_tetel.html]szelődarabok szorzatára[/url] vonatkozó (középiskolai) tételen, valamint a pont körre vonatkozó polárisát előállító [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_polardiameter.png[/icon] parancson alapszik, amely a 3D-s rajztérben is alkalmazható, ha a kör és a pont egy síkban van. Megjegyezzük, hogy külön kellett kezelnünk azt az elfajuló esetet, amelyben E[sub]a[/sub]E[sub]b[/sub]=E[sub]a[/sub]E[sub]c . [/sub]Ekkor ugyanis az M[sub]a[/sub] pont nem jön létre. (Ilyen pl. a "szabályos" eset.)[br][br][/*][*]A 3. lépésben előállított [i] F[/i][sub][i]a[/i] [/sub]pont megszerkesztésére adott eljárást alkalmaztuk még kétszer, a [i](CA) [/i]ill, [i](AB)[/i] egyenesek [i]S[/i]-sel alkotott [i]F[sub]b[/sub][/i] ill, [i]F[sub]c[/sub] [/i]érintési pontjainak az előállítására. [br][br][/*][*]A keresett tetraéder mozgatható [i]D[/i] csúcsa és az[i] E[sub]a[/sub], E[sub]b[/sub], [/i][i]E[sub]c[/sub],[/i] valamint az ezekből szerkesztett [i] F[/i][i][sub]a[/sub], F[sub]b[/sub], F[sub]c[/sub] [/i]érintési pontok egyértelműen meghatározzák a keresett [i] ABCD[/i] tetraédert. [br]Csupán a szerkesztésünk helyességét ellenőriztük azzal, hogy megvizsgáltuk: az így megszerkesztett A, B, C pontok rendre illeszkednek a megadott a, b, c egyenesekre. [br]Pl. az [b]A∈a ?[/b] kérdésre a [b]Távolság(A, a) ≟ 0[/b] logikai érték adta meg a választ, mivel a GeoGebra [b]Kapcsolat(A,a) [/b]parancsa[b] [/b] térbeli koordinátákkal adott pontra és egyenesre nem működik.[br][br][/*][*]Az [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]itt épp hogy érintett[/url] projektív geometria eszköztára alkalmas arra, hogy minden poliéderhez hozzárendeljünk egy másik un. [i]duális poliédert[/i], ahol az eredeti poliéder csúcsainak, lapjainak és éleinek rendre a kapott alakzat lapjai, csúcsai ill. élei felelnek meg. [br][br]Ha egy poliédernek van középgömbje, akkor pl. két poliéder közötti duális kapcsolat lehet az is, amelyben az egymásnak megfelelő élek merőlegesen metszik egymást a középgömbre illeszkedő - közös - érintési pontokban. Eszerint, ha az eredeti alakzatnak van középgömbje, akkor az így kapott duálisának is van. [br][br]Ez azt jeleni, hogy az imént kapott [i]ABCD[/i] tetraéderrel együtt előállíthattunk egy másik [i]EFGH[/i] tetraédert is, amelynek ugyancsak [i]S[/i] a középgömbje. [br][br][/*][*] Az [i]ABCD[/i] és az [i]EFGH[/i] tetraéder csúcsaiból álló nyolc pont meghatároz egy speciális [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/nrvbvefm]projektív kockát.[/url] Olyat, amelynek [i]S[/i] a "kocka" lapjait érintő beírt gömbje. Lapátlói - a két tetraéder élei - merőlegesen metszik egymást. A vetítősugarak megadásával itt is meg tudjuk adni a [b][i](12[sub]4[/sub],16[sub]3[/sub])[/i][/b] pont-egyenes konfigurációt.[br][br]Az [i]E[sub]a[/sub], E[sub]b[/sub], E[sub]c[/sub],, D[/i] pontok mozgatásával elérhető, hogy a kapott projektív kocka konkáv, alkalmasint önátmetsző is lehet. Mindez azt mutatja, hogy a "projektív kocka" fogalma jóval általánosabb, mint ahogy azt első példánkon megismertük. [/*][/list]Végül - látva, hogy a középgömbbel rendelkező tetraédereknek milyen sok érdekes tulajdonsága van - felvethető az alábbi kérdés:[br][br] A középgömbbel rendelkező tetraéderek előállításához megadható-e az előzőtől alapjaiban eltérő eljárás?

Az 1. appletben lényegében a keresett tetraéder három szomszédos élének az adott gömbbel alkotott érintési pontjait adtuk meg.[br][br]Most adjunk meg a keresett tetraéder két szemközti, és egy ezeket metsző éleinek az adott (itt [b]S=Gömb((0,0,0),2) [/b]gömbbel alkotott érintési pontjait. Az előző applet jelöléseit követve ezek legyenek [i]E[sub]A[/sub], F[sub]A[/sub][/i] és[i] E[sub]B[/sub][/i].[br][br]Kihasználva az előző szerkesztésben megismert összefüggéseket, először megszerkesztjük azt a projektív kockát, amelynek a lapjai az S gömböt a három adott pontban érintik, majd ennek négy-négy csúcsát kiválasztva kapjuk a keresett tetraédert és duálisát. Végül megmutatjuk, hogy a kapott két tetraéder élei -vagyis a projektív kocka lapátlói - merőlegesen metszik egymást az adott ill. megszerkesztett érintési pontokban. [br][br]A szerkesztés lépéseit és a konstrukció elemzését ugyancsak a ∥◀ ,◀, ▶, ▶∥ gombokkal és a logikai kapcsolók ki-be kapcsolásával követhetjük nyomon.

[list=1][*]A három adott pont speciális (szabályos tetraédereket eredményező) beállítását itt három vektor segíti.[br][br][/*][*]Az előző appletet vizsgálva észrevehettük, hogy a kapott projektív kocka két szomszédos és az ezekkel szemközti lapok érintési pontjai egy síkra (azaz egy körvonalra) illeszkednek. Ez a sík tartalmazza a projektív kocka két iránypontját és középpontját. Így [i]E[sub]A[/sub], F[sub]A[/sub][/i] és[i] E[sub]B[/sub][/i]. pontok köré irt k[sub]C[/sub] kör ismeretében megszerkeszthető a projektív kocka [i]P[/i][sub][i]A[/i] [/sub]és [i]P[sub]B[/sub][/i] iránypontja, ezekből az [i]E[sub]B[/sub][/i] érintési ponttal szemközti [i]F[sub]B[/sub] [/i]érintési pont, a "kocka" M középpontja, végül az a [i]k[sub]C [/sub][/i]köré írt négyszög, amelynek az oldalegyenesei átmennek a kapott iránypontokon. [br][br][/*][*]Kihasználva, hogy egy egyenes körkúp alapkörének bármely pontjába húzott alkotója merőleges az adott pontba húzott érintőre, az [i]E[sub]A[/sub]P[sub]B[/sub][/i] ill. az [i]F[sub]A[/sub]P[sub]B[/sub][/i] egyenest az [i] E[sub]A[/sub] [/i]ill. [i]F[sub]A[/sub][/i] ponton és az [i]S[/i] gömb [i](0,0,0)[/i] középpontján átmenő tengely körül 90°-kal elforgatva megkaphatjuk a projektív kocka harmadik, [i]P[sub]C[/sub][/i] iránypontját. Ebből és az [i]M[/i] középpontból az [i]E[sub]C[/sub][/i] és [i]F[sub]C[/sub][/i] érintési pontokat, végül [i]k[sub]B[/sub][/i] kört, és az ehhez tartozó érintőnégyszöget. [br][br][/*][*]Miután ismerjük a projektív kocka beírt gömbjének mind a hat érintési pontját, a [i]k[sub]A[/sub] [/i]körre lényegében nincs is szükségünk ahhoz, hogy megadjuk a [i]P[sub]A[/sub][/i] ill. [i]P[sub]C[/sub] [/i]iránypontokhoz tartozó érintőnégyszögét. [br][br][/*][*]A [i]P[sub]A[/sub], P[sub]B [/sub][/i]és[i] P[sub]C[/sub][/i] irányhoz tartozó érintőnégyszögek centrálisan perspektívek a a projektív kocka szemközti oldalaival, így ezek ismeretében megadhatók a "kocka" vetítőegyenesei, majd maga a projektív kocka.[br][br][/*][*]Egy projektív kocka csúcsai minden esetben meghatároznak két tetraédert, jelen esetben azonban meg kell mutatni, hogy e két tetraéder oldalai valóban merőlegesen metszik egymást az [i]S[/i] gömbön megadott ill. megszerkesztett érintési pontokban. [br][br][br][/*][/list]Összegezve megállapíthatjuk, hogy az első változat megszerkesztéséhez általános elemi geometriai ismeretek is elegendőnek bizonyultak ennek a második változatnak a megszerkesztéséhez azonban sok olyan ismeretet "kellett tudnunk" a középgömbbel rendelkező tetraéderekről, amelyeket éppen az előző szerkesztés során ismerhettünk meg.