Ein [b]Extrempunkt[/b] (auch Extremum genannt, die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein [b]Hoch-[/b] oder ein [b]Tiefpunkt[/b].[br] Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima").[br][br]Ein [color=#980000][b]lokales Maximum[/b][/color] ist wie ein Berggipfel [b]nur für seine Umgebung[/b] der höchste Punkt. Denn meistens gibt es irgendwo anders einen noch höheren Berg. Ein [color=#980000][b]globales Maximum[/b][/color] ist wirklich die Stelle einer Funktion über den gesamten Definitionsbereich gesehen, an der der höchste Funktionswert vorliegt. Übertragen auf die Berge der ganzen Erde wäre es also wirklich der höchste Berg der Erde, der Mount Everest. Die gleiche Betrachtung können wir für [b]lokale und globale Tiefpunkte oder Minima[/b] anstellen.[br][br]Wenn wir im Weiteren Maxima und Minima oder Hoch- und Tiefpunkte berechnen, dann meinen wir immer nur [b]lokale Maxima[/b] und [b]lokale Minima[/b].
Im Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/ntr3kayy]Funktionen analysieren mit der ersten Ableitungsfunktion[/url]" wurde die Frage gestellt: [br][color=#ff0000][b]Welche Bedingung bezüglich der Tangentensteigung ist bei Extrempunkten IMMER erfüllt?[/b][/color][br][br]Die Antwort ist: Bei einem lokalen Extrempunkt ist die Tangentensteigung immer gleich Null, das heißt die erste Ableitungsfunktion hat hier den Funktionswert Null.[br][br]Das lässt sich hervorragend dazu verwenden, die Stellen auszurechnen, an denen eine Funktion ihre Extremstellen hat. Man muss einfach nur die [color=#980000]Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion[/color] berechnen. [br][br][color=#980000][b][size=150]Notwendige Bedingung für die Existenz eines Extrempunktes:[/size][/b][/color][br][color=#980000]Hat die Funktion[/color] [math]f(x)[/math] [color=#980000]an der Stelle[/color] [math]x_E[/math] [color=#980000]ein Extremum, dann ist an dieser Stelle die erste Ableitungsfunktion gleich Null:[/color][size=150][math]f'(x_E)=0[/math].[/size]
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion [math]f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+4[/math]
[b][color=#980000][br]Schritt 1[/color][/b]: [b]Berechnen der ersten Ableitungsfunktion[/b]: [math]f'(x)=x^2-4x+3[/math][br][color=#980000][b]Schritt 2[/b][/color]: [b]Notwendige Bedingung[/b] - Berechnen der Nullstellen der Ableitungsfunktion:[br][math]f'(x)=0[/math] also [math]0=x^2-4x+3[/math] Anwenden der p-q-Formel mit [math]p=-4[/math] und [math]q=3[/math][br][math]x_{E1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3}=2\pm\sqrt{1}=2\pm1[/math] also [math]x_{E1}=1[/math] und [math]x_{E2}=3[/math][br][color=#980000][b]Schritt 3[/b][/color]: [b]Berechnen der y-Koordinaten[/b]:[br][math]f(x_{E1})=f\left(1\right)=\frac{1}{3}\cdot1^3-2\cdot1^2+3\cdot1+4=\frac{16}{3}[/math] [math]\Rightarrow[/math] ein Extrempunkt hat die Koordinaten [math]E_1(1|\frac{16}{3})[/math] [br][math]f(x_{E2})=f(3)=\frac{1}{3}\cdot3^3-2\cdot3^2+3\cdot3+4=4[/math] [math]\Rightarrow[/math] der zweite Extrempunkt hat die Koordinaten [math]E_2(3|4)[/math]