Clowns. 1938
Simetría: Los movimientos en el plano
Encontramos simetría en el rostro humano y en muchos seres vivos. También aparecen objetos simétricos en situaciones de nuestra vida diaria: edificios y construcciones, logotipos, banderas, baldosas y en la decoración de las paredes. Esta web presenta una colección de propuestas de trabajo que van desde una iniciación a la simetría en situaciones muy cercanas, hasta trabajos de investigación que profundizan en las ideas y conceptos.
Table of Contents
- Presentación
- Los movimientos en el plano.
- Celosías.
- Mosaicos.
- Traslación
- Simetría de traslación
- El lago de los cisnes.
- Trasladamos rejas
- Simetría traslacional en un mosaico.
- Prácticas de traslación con mosaicos.
- Simetría axial
- Animales simétricos
- Simetría bilateral
- Simetría en las letras del abecedario.
- Simetrías en las baldosas de cerámica.
- La simetría de la mariposa
- Composición de simetrías. Las hojas.
- Simetría en los Mosaicos.
- Ejes de simetría en los mosaicos (1)
- Ejes de simetría en los mosaicos (2)
- Simetría rotacional
- La simetría rotacional
- Simetría rotacional en letras y símbolos
- Las baldosas de cerámica
- Simetría central de una figura.
- La simetría de la puerta
- Simetría rotacional en los mosaicos
- Mosaicos con simetría rotacional 2
- Mosaicos con simetría rotacional 3
- Simetría con deslizamiento
- Simetría con deslizamiento.
- Las huellas de los pies al caminar
- Simetría con deslizamiento en los mosaicos
- Prácticas de Simetría con Deslizamiento
- Composición de movimientos
- Traslación
- Composición de traslaciones
- Simetría axial
- Composición de simetrías
- Rotación o giro alrededor de un punto
- Composición de rotaciones
- Simetría con deslizamiento.
- Movimientos con coordenadas
- Traslaciones y coordenadas
- Rotaciones y coordenadas
- Simetrías y coordenadas
- Investiga movimientos
- Los cuatro movimientos en un mosaico. Escher
- Prácticas con los cuatro movimientos
- Algunas preguntas sobre la simetría para investigar
- Celosías
- La construcción de celosías
- La baldosa
- Los movimientos.
- Traslación con vectores sobre los lados del cuadrado.
- Simetría respecto de ejes sobre los lados del cuadrado
- Simetría central respecto de los puntos medios de los lados del cuadrado
- Rotación + Traslación
- Azulejos y simetría
- Investiga: Simetría de la baldosa y método de colocación.
- Baldosa sin simetría
- Baldosa con simetría rotacional de orden 2
- Baldosa con simetría rotacional de orden 4
- Baldosa con un eje de simetría que pasa por los puntos medios de dos lados opuestos
- Baldosa con un eje de simetría que une vértices opuestos
- Dos ejes de simetría puntos medios de lados opuestos
- Baldosa con dos ejes de simetría por las diagonales
- Baldosa con cuatro ejes de simetría axial
Los movimientos en el plano.
Estudiaremos las figuras simétricas, aquellas que permanecen invariantes al someterlas a un determinado movimiento.[br][br]En el siguiente applet tenemos una imagen del puente de Brooklyn, si "damos la vuelta a la imagen" -hacemos una simetría axial respecto de la recta azul-, la mayor parte de los elementos del puente coinciden con los del otro lado.[br][br]Puedes realizar la simetría con el deslizador verde o activar una animación automática pulsando sobre el icono que hay en la esquina inferior izquierda.
En el segundo applet tienes un deslizador que, al desplazarlo hacia la parte superior, muestra una bandera y su transformación con cada uno de los movimientos. En todos ellos puedes cambiar la posición de la bandera (nunca su transformada). Además:[br][list][*] En la traslación puedes mover el vector o desplazar los vértices.[/*][*] En la simetría axial cambiar el eje (por otro paralelo o modificar la inclinación).[/*][*] En la rotación desplazar el centro o cambiar el ángulo de giro.[/*][*] En la simetría con deslizamiento el eje o la magnitud del vector (no su dirección, que es siempre paralela al eje de simetría).[/*][/list]
Para cada uno de los movimientos se ha seleccionado una colección de applets interactivos que lo conectan con situaciones cotidianas cada vez más complejas, para acabar con la aplicación a los mosaicos.
Simetría de traslación
Decimos que una figura tiene simetría de traslación cuando coincide consigo misma tras desplazarla según un determinado vector. Aquí tenemos dos fotografías: unas tejas y una reja en las que podemos observar la repetición de un motivo. De cada una de ellas se han hecho dos copias, a las que se ha tamizado el color. Una de ellas permanece fija mientras la otra se desplaza según el vector marcado hasta que vuelven a coincidir los motivos fotografiados.
Animales simétricos
En estos applets tenemos dos imágenes con simetría axial: un animal y un arco. En ellos se puede mover el deslizador verde que hay a la izquierda para comprobar cómo se “da la vuelta” a la imagen para coincidir con la original.
¿Cómo definirías el término "eje de simetría"?[br][br][b]La máscara:[/b] En el siguiente applet puedes mover el punto de la izquierda y con él se desplazará su simétrico respecto del eje. El objetivo consiste en crear un diseño simétrico como puede ser una máscara dibujando los trazos de una de las dos partes.[br]
La simetría rotacional
Antes de comenzar, recordemos qué es la rotación de una figura alrededor de un punto con un applet en el que puedes interactuar. En él tienes un triángulo azul que ha sido girado 90º con centro en O y se ha convertido en uno de los otros tres (verde, rojo y amarillo). Piensa primero cuál de ellos será y activa después la casilla “Ver solución”, aparecerá una línea de puntos en la parte superior (α) que mostrará una animación al desplazar el punto α hacia la derecha.
Una figura tiene un centro de simetría cuando al realizar una rotación o giro (menor de una vuelta completa) alrededor de ese centro, la imagen producida vuelve a coincidir con la original. Es lo que ocurre con la imagen del símbolo celta llamado triskel.[br][br]Cuando realizamos una rotación de 120º la imagen alrededor del punto rojo comprobamos que la figura coincide con la original y eso ocurrirá cada vez que demos un nuevo giro como ese. En estos casos decimos que la figura tiene simetría rotacional
[color=rgb(51, 51, 51)]Con el deslizador verde que encontrarás en la parte superior del applet, podemos hacer que cada figura realice poco a poco un giro completo alrededor del punto marcado.[br][/color][left][color=rgb(51, 51, 51)][br]Observa cuántas veces coincide la figura en su rotación y anota los ángulos de giro en que se produce.[br][/color][/left][color=rgb(51, 51, 51)]Una figura tiene simetría rotacional de orden n cuando ese es el número de veces que coincide al dar una vuelta completa.[/color]
Simetría con deslizamiento.
En realidad, la simetría con deslizamiento es la combinación de dos movimientos: una simetría axial y una traslación con un vector paralelo a ese eje.[br][br]En la fotografía de Pilar Moreno utilizamos el deslizador para dar la vuelta a la imagen de forma que los brotes de la flor cambian de lado y después se traslada la fotografía hacia la parte superior con un vector paralelo al eje, para que cada brote se sitúe sobre el siguiente.
Traslación
Aquí tienes una bandera trasladada por un vector.[br][br]Se puede desplazar y girar la bandera azul. También se puede mover el vector por el centro y los extremos y ver qué ocurre con la bandera trasladada.
Dado un punto, describe la forma más sencilla de obtener el punto trasladado por un vector.[br][br]¿Hay algún punto invariante por una traslación, es decir, algún punto que al ser trasladado se quede en el mismo lugar que el original?.
Traslaciones y coordenadas
Se ha trasladado el punto A con cuatro vectores distintos: u1, u2, u3 y u4 que lo han llevado a ocupar distintas posiciones en el sistema de coordenadas.
Toma los puntos de la parte superior derecha para colocarlos en sus posiciones correctas en el sistema de coordenadas. Cuando ocupen esos lugares, el applet avisará con un mensaje.
Los cuatro movimientos en un mosaico. Escher
Se toma el mosaico de las mariposas de M.C. Escher para realizar una animación que permite ver cómo se vuelve a colocar sobre él mismo cuando se realiza uno de los cuatro movimientos:[br][list=1][*]La [color=#741B47][b]traslación[/b][/color] con dos vectores perpendiculares.[/*][*]Dos [color=#cc0000][b]rotaciones[/b][/color], de 180º con centro de giro en el centro de una mariposa y otra de 90º en el punto de confluencia de cuatro alas. En esta última rotación las mariposas cambian de color.[/*][*]La [color=#38761D][b]simetría[/b][/color] respecto de un eje que pasa por los centros de las mariposas.[/*][*]La [color=#B45F06][b]simetría con deslizamiento[/b][/color]: primero una simetría axial y después una traslación con vector paralelo al eje de simetría.[br][/*][/list]
Cuando activamos el botón[color=#1155Cc] [b]Todas las simetrías[/b] [/color]se resaltan dos vectores de traslación (morado), centros de rotación de orden 2 (rosa) y 4 (rojo), los ejes de simetría axial (verde) y los ejes de simetría con deslizamiento (amarillo)[br][br]Haz un estudio parecido en mosaicos como éstos:
Lizard. 1939
Angel & Devil. 1941[br]
Hay otros movimientos como la homotecia o dilatación (también disponible en GeoGebra), que mantiene la forma, pero no el tamaño. En la imagen tenemos una homotecia de razón ½ en la que todas las medidas quedan reducidas a la mitad. Este tipo de movimientos que no mantienen las distancias quedan excluidos de nuestro estudio.
La construcción de celosías
Las celosías se construyen con baldosas, normalmente cuadradas, que contienen un diseño interior. Se colocan en la parte superior de los muros por varios motivos: en primer lugar, las zonas huecas suponen una descarga del peso del muro sobre su base; en segundo, dejan pasar la luz que después puede tamizarse con un seto y, por último, aportan un motivo decorativo a una pared normalmente lisa. Si los dos primeros motivos (peso y luz) se pueden abordar desde la física, el tercero nos llevará por el camino de la geometría.
La colocación se realiza mediante diversos movimientos de dichas baldosas: traslaciones, giros y simetrías de la baldosa original.
Una de las formas más frecuentes de colocar este tipo de baldosas consiste en hacer simetrías axiales, tomando como ejes los lados del cuadrado. Se consigue situando la nueva baldosa sobre una ya colocada y dar un giro de 180º “en el aire” (utilizando la tercera dimensión), como se puede ver en la siguiente animación:
En algunos casos se dan situaciones no deseadas. Es el caso de la siguiente celosía se observa un intento de seguir el patrón anterior de colocación, pero ha habido un error en una de las baldosas. Al principio cuesta localizarla, pero una vez se ha encontrado, la vista casi siempre se dirige hacia ella.
