... amelyek közül bármelyik három nem esik egy egyenesre. [br]Legyen továbbá adott négy általános helyzetű egyenes - amelyek közül bármelyik három nem esik egy pontra.[br]Ezekre építve bevezethetjük az alábbi fogalmakat, ....[br][table] [tr] [td][br] [i] Teljes négyoldal[/i]nak nevezzük a sík négy különböző [i]egyenes[/i]éből, és az általuk meghatározott hat [i]pont[/i]ból (csúcsok ,v. szögpontok) álló geometriai alakzatot. [br]A szögpontok általmeghatározott további [i]egyenes[/i]ek a teljes négyoldal[i] átlós-egyenesei,[/i] ezek metszéspontjai az [i]átlóspont[/i]ok.[b][/b][br] [/td] [td][br] [i]Teljes négyszög[/i]nek nevezzük a sík négy különböző [i]pont[/i]jából, és az általuk meghatározott hat [i]egyenes[/i]ből (oldalak) álló geometriai alakzatot. Az oldalak által meghatározott további [i]pont[/i]ok a teljes négyszög [i]átlós-pontjai,[/i] ezekre illeszkedő egyenesek az [b]átlók[/b].[b][/b][br] [/td] [/tr][/table].... és -bizonyítható - tételeket: [br][table] [tr] [td] Egy [i]teljes négyoldal [/i] valamely átlós-egyenesére illeszkedő két szögpont és két átlóspont [i]harmonikus pontnégyest[/i] alkot.[b][/b][br] [/td] [td] Egy [i]teljes négyszög [/i]valamely átlós-pontjára illeszkedő két oldal és két átló [i]harmonikus sugárnégyest [/i]alkot.[b][/b][br] [/td] [/tr][/table]Tisztáznunk kell még két további fogalmat:[br][br][table] [tr] [td][br]Legyen  [i]A, B, C, D[/i] egy egyenes négy különböző pontja.[br]Az [i]A, B, C, D [/i]pontnégyes (ABCD) [i]kettősviszony[/i]án az alábbi előjeles szakaszok hányadosait értjük:[br][math]\left(ABCD\right)=\frac{AC}{CB}:\frac{AD}{DB}[/math][br]Az [i]A, B, C, D[/i] pontok harmonikus pontnégyest alkotnak, ha[i] (ABCD)=-1 [/i]          [br] [/td] [td]Legyen  a[i], b, c, d [/i] egy pontra illeszkedő négy különböző egyenes. ([i]sugárnégyes[/i])[br]Az [i]a, b, c, d [/i] sugárnégyes (abcd) [i]kettősviszony[/i]án az alábbi előjeles szögek szinuszainak a hányadosát értjük:[br][math]\left(abcd\right)=\frac{sin\left(ac\right)}{sin\left(cb\right)}:\frac{sin\left(ad\right)}{sin\left(db\right)}[/math][br] Az [i]a,b,c,d,[/i] egyenesek harmonikus sugárnégyest alkotnak, ha [i](abcd)=-1 [/i][/td] [/tr][/table]Megjegyezzük, hogy ezek az eléggé hevenyészetten bevezetett fogalmak és tételek alapvetően az euklideszi geometria általánosításaként kiépített [url=https://gyires.inf.unideb.hu/mobiDiak/Papp-Ildiko/Projektiv-geometria/vegleges-projgeom1.pdf]projektív geometria [/url]fogalmai.[br]Bizonyára feltűnt, hogy szinte azonos szöveget tartalmaz a fenti szöveg két oldala, lényegében csak a "[i]pont[/i]" és "[i]egyenes[/i]" szavakat cseréltük fel. [br][br]Mindezt az teszi lehetővé, hogy - mint korábban láttuk - a[br] [b]"[i]bármely két pontra egy és csak egy egyenes illeszkedik"[/i],[/b][color=#333333] és a [/color][b][br]"[i]bármely két egyenesre egy és csak egy pont illeszkedik[/i]" [/b][br]kijelentések egyaránt érvényesek a projektív geometriában és az elliptikus geometriában. [br][br]Emiatt a fenti definíciók [u]itt[/u] nem is annyira hevenyészettek, ugyanis nem kell olyan speciális eseteket külön kizárnunk, ami az euklídeszi geometriában előfordulhat, hogy pl. valamelyik két egyenes párhuzamos, így nincs közös pontjuk.[br] [br] [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/y2czvwbf] Azt is láttuk,[/url] hogy ha az elliptikus geometria félgömbmodelljét un. sztereografikus vetítéssel vetítjük a síkra, akkor az itteni E-körmodellt, ha a gömb középpontjából történik a vetítés, akkor a projektív síkot kapjuk. [br][br]Így hát joggal vetődik fel a kérdés, hogy mindez miként tükröződik a most vizsgált E-körmodellünkön. [br]

Az alábbi appletben ugyanazzal az [b][color=#0000ff]A, B, C, D[/color][/b] ponttal adtuk meg a teljes négyoldal 4 és a teljes hatszög 6 egyenesét. Ezt teszi lehetővé, hogy ugyanaz a geometriai alakzat mást-mást jelent, az egyik, ill. másik esetben.

Felhívjuk olvasóink figyelmét arra, hogy [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/ajrcasqr]itt már találkoztak[/url] a fenti applet egy speciális esetével:[br]Egy általános háromszög középvonalai teljes négyoldalt, súlypontjai, valamint a beírt köreinek a középpontjai teljes négyszöget határoznak meg. Mindhárom konstrukciónak az adott háromszög oldalai, ill. csúcsai lesznek az átlói, ill. átlós pontjai. [br][br] Ezt az "okozza", hogy az E-egyenes két pontja, és a hozzájuk tartozó szakaszfelező pontok harmonikus pontnégyest alkotnak..[br][br]

Bár megtehettük volna, hogy az előző appletben fellelhető pontok és egyenesek kettősviszonyait "számoljuk ki", ellenőrizendő, hogy valóban harmonikus pontnégyest ill. sugárnégyest állítottuk-e elő, most erre más utat fogunk választani.[br][br][u]Feladat:[/u][br]Legyen adott az E-síkon a [b]t=(A,B)[/b] egyenes, és egy [b][i]C[/i][i]∈t[/i] [/b]pont.[br] Szerkesszük meg [i][b]C[/b][/i]-nek azt az [i][b]A, B[/b] [/i]alappontokra vonatkozó [i][b]D[/b][/i] harmonikus társát, amelyre [i](ABCD)=-1 .[br][br][/i]Ehhez felépítünk egy olyan [i]teljes négyoldalt,[/i] amelynek két csúcsa [i]A [/i]és [i]B,[/i] egyik [i]átlóspontja C,[/i] megkeressük az [i]AB[/i] egyenes másik átlóspontját [i]D-[/i]t, végül ellenőrizzük, hogy helyes-e a szerkesztésünk: valóban teljesül-e, hogy[i] (ABCD)=-1.[br][br][/i][list=1][*] Felvettük az E-modell [i] [/i][b]t=EE(A,B) [/b]egyenesét és a [i]t[/i]-n mozgatható [b]C[/b] pontot.[/*][*]Felvettük az E-sík tetszőleges [b]S∉t[/b] pontját, majd az [i](S,C)[/i] egyenesen egy további [b][i]E[/i] [/b]pontot. [/*][*]Legyen [b]F[/b][b]=(EA)∩(SB) [/b] és [b]G=(EB)∩(SA)[/b] , így a keresett teljes négyoldal csúcsai [b]A, B, S, E, G [/b]és[b] F.[/b][/*][*]A kapott teljes négyoldal átlói [i](SE) ,(F,G)[/i] és [i](AB)[/i], így az [b](AB)[/b] átlóra eső két csúcs [b]A[/b] és [b]B[/b], két átlóspont [b]C [/b]és [b]D[/b] . [br]Figyeljük meg, hogy az [b]S[/b] és[b] E [/b]pontok megválasztásától nem függ a [b]D[/b] pont . Azt is érdemes megjegyezni, hogy [b]C[/b] és [b]D[/b] szerepe szimmetrikus.[/*][*]Azt kell megvizsgálnunk, hogy a kapott konstrukcióra teljesül-e, hogy [i](ABCD)=-1 . [/i]Mint láttuk, az E-szakaszok szögeit a végpontjaira és a szakasz pólusára illeszkedő E-egyenesek szögével mérjük. Tehát teljesülnie kell az[i] (ABCD)=(abcd) [/i]feltételnek is, ahol egyelőre [b]a, b, c, d[/b] rendre az [b]A,B,C[/b] ill. [b]D[/b] pontra és a [b]t [/b]egyenes pólusára illeszkedő négy egyenes, Egy sugárnégyes kettősviszonyához viszont a [u]szögeik szinuszára [/u]van szükség. Így hát az [i](ABCD)[/i] kettősviszony kiszámításához nem a szakaszok hosszait -mint szögeket - hanem e szögek szinuszait kell figyelembe vennünk. Erre valóban teljesül, hogy [i](ABCD)=-1. [/i][br]Az applet szövegében -1 a [b](-sin(ac)/sin(cb))/(sin(ad)/sin(db))[/b] képlettel kiszámított szám.[/*][/list][br]Alaphelyzetben, vagy az[b] A[/b] ill.[b] B[/b] pontra kattintva a sugárnégyes [b]P[/b] tartópontja a[b] t[/b] egyenes pólusa lesz, így megjelenő táblázat a [b]t[/b] -re illeszkedő szakaszok hosszát mutatja. A legtöbb esetben ezeknek nincs közös belső pontjuk, így összegük 180°, de ez nincs mindig így. [br][br]Ha [b]P[/b]-t elmozdítjuk, akkor a szögek változnak, de - mivel [b][color=#980000]az elliptikus geometriában is is érvényes Papposz tétele[/color][/b], a képlet kiszámított értéke mindig -1 lesz.[br]