Ley del Cuadrilátero
Desarrollo de la Ley del paralelogramo para luego usando Teorema de Thales para deducir la ley del cuadrilátero.
Table of Contents
- Ley del Paralelogramo
- Paralelogramo
- Teorema de Thales
- Teorema de Thales (Actividades)
- Demostración Ley del Paralelogramo
- Figuras Básicas: Thales y paralelogramo
- Paralelogramos en un Cuadrilátero
- Paralelogramo de los puntos medios en cuadrilatero
- Recta de Newton
- Recta de Newton
- Teorema de Varignon e recta de Newton
- Deducción de la Ley del Cuadrilátero
- Ley del cuadrilátero
- Ley del cuadrilátero
Paralelogramo
DEFINIÇÃO
Um quadrilátero plano convexo é paralelogramo, se e somente se, possui os[b] lados opostos paralelos[/b].[br]Na figura seguinte AB//CD (AB é paralelo a CD) e AC//BD (AC é paralelo a BD).
Paralelogramo
PROPRIEDADE 1
Ângulos opostos congruentes
Reflexão
Manipule os pontos A, B ou C. O que você percebe?
JUSTIFICATIVA
Exercício 1
Pesquise e escreva uma justificativa para a propriedade "Todo quadrilátero convexo que tem os ângulos opostos congruentes é paralelogramo" (dica: considere a figura seguinte e lembre-se que a soma dos ângulos internos do quadrilátero é 360º). [br][img]https://www.geogebra.org/resource/GcEtXXUp/TOM2t5jVinG3b057/material-GcEtXXUp.png[/img][br]
PROPRIEDADE 2
Lados opostos congruentes
Reflexão
Manipule os pontos A, B ou C. O que você percebe?
Exercício 2
Pesquise e escreva uma justificativa para a propriedade "Todo quadrilátero convexo que tem os lados opostos congruentes é paralelogramo" (dica: Trace uma diagonal e use congruência de triângulo).
Diagonais do paralelogramo
Reflexão
Manipule os pontos A, B ou C. O que você percebe?
Demonstração da propriedade
Exercício 3
Pesquise e escreva uma justificativa para a propriedade "Todo quadrilátero convexo em que as diagonais se interceptam nos pontos médios é paralelogramo" (dica: use a figura seguinte como referência). [br][img]https://www.geogebra.org/resource/nD5XjzHR/gTSWI2uFrYtRR5C2/material-nD5XjzHR.png[/img][br]
Manipule os pontos A, B ou C.
Exercício 4
Manipule os pontos A, B ou C da construção anterior. O que você pode concluir?
Exercício 5
Pesquise e escreva uma justificativa para a propriedade "Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo" (dica: use a figura seguinte como referência). [br][img]https://www.geogebra.org/resource/gRfN6qAc/niUC22KmLjx3JBsW/material-gRfN6qAc.png[/img][br]
Paralelogramo de los puntos medios en cuadrilatero
Construcción paralelogramo
Si se tiene un cuadrilátero convexo [math]ABCD[/math] cualquiera, entonces si se unen los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se forma siempre un paralelogramo.
Paralelogramo EFGH
Demostración Paralelogramo EFGH
Demostración Paralelogramo EFGH
Recta de Newton
Construcción recta de Newton
Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero convexo [math]ABCD[/math] se definen por [math]X[/math] e [math]Y[/math]. Si además se toman los puntos medios [math]E[/math] y [math]G[/math] de los lados [math]AB[/math] y [math]DC[/math] respectivamente. Entonces se busca mostrar que el cuadrilátero [math]EXGY[/math] es un paralelogramo y si [math]Z[/math] es la intersección de sus diagonales, se tiene que [math]X[/math], [math]Y[/math] y [math]Z[/math] son colineales, es decir, viven sobre una misma recta, la llamada recta de Newton.
Paralelogramo con puntos medios de las diagonales y dos puntos medios de los lados opuestos.
Demostración: Paralelogramo con puntos medios de las diagonales y dos puntos medios de los lados opuestos.
Recta de Newton
Recta de Newton
Ley del cuadrilátero
Sea [math]ABCD[/math] un cuadrilátero convexo, [math]EFGH[/math] el paralelogramo formado por la unión de los puntos medios de los lados, con [math]E,F,G[/math] y [math]H[/math] en [math]AB[/math], [math]BC[/math], [math]CD[/math] y [math]DA[/math] respectivamente. Se definen [math]X[/math] y [math]Y[/math] como los puntos medios de las diagonales [math]AC[/math] y [math]BD[/math]. Como [math]EXGY[/math] es un paralelogramo, sus diagonales se cortan en el punto medio. Con esto se tiene que:[br][br][br][br]
Paralelogramos y recta de Newton en cuadrilátero convexo
Deducción Ley del cuadrilátero
Paralelogramos y recta de Newton en cuadrilátero convexo
Notar que: [br][math]AC^2+BD^2=\left(2AX\right)^2+\left(2BY\right)^2=4AX^2+4BY^2=4GH^2+4GF^2=2\left(GE^2+HF^2\right)[/math][br]Luego usando la ley del paralelogramo para hacer aparecer la distancia entre los puntos medios de las diagonales:[br][math]GE^2=2GX^2+2GY^2-XY^2[/math][br][math]HF^2=2HX^2+2XF^2-XY^2[/math][br]Reemplazando queda:[br][math]AC^2+BD^2=2\left(\left(2GX^2+2GY^2-XY^2\right)+\left(2HX^2+2XF^2-XY^2\right)\right)=4GX^2+4GY^2+4HX^2+4XF^2-4XY^2[/math][br]Con la definición de los puntos medios se concluye la Ley del Cuadrilátero:[br][math]AC^2+BD^2=AB^2+CB^2+CD^2+DA^2-4XY^2[/math]