La función [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_W_de_Lambert]W de Lambert[/url] "log producto" es la inversa de [math]f(x)=xe^x[/math].[br]Se demuestra que esta función no puede expresarse mediante funciones elementales.[br][br]Resulta útil, por ejemplo, en la resolución de cierto tipo de ecuaciones en las que aparecen exponenciales.[br][br]En [math]\mathbb{R}[/math], está bien definida si [math]x\geq \frac{-1}{e}[/math] (ver la representación gráfica más abajo), aunque en el intervalo [math]-\frac{1}{e}<x<0[/math] es bivaluada, por lo que habrá que tener en cuenta sus dos posibles valores.[br][br](*) Para [math]x>-\frac{1}{e}[/math], se demuestra que (una) solución es[br][math]W(x)=\frac{x}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(1-v\,\cot\,v)^2+v^2}{x+v\,\csc(v)\cdot e^{-v\,\cot(v)}}\mathcal{d}v[/math]

GeoGebra trae [url=https://wiki.geogebra.org/es/Operadores_y_Funciones_Predefinidas]predefinida[/url] la función de Lambert.[br]Podemos utilizar el comando[br][list][*]LambertW(x)[br][/*][/list]o bien, para diferenciar las ramas:[br][list][*]LambertW(x, 0), [/*][*]LambertW(x, -1) [i][size=85] (*) Cuando no exista la rama -1, el resultado es sin definir[/size][/i].[/*][/list]

En esta representación gráfica, podemos ver la función [math]xe^x[/math], junto con su inversa, la función W de Lambert.[br][list][*]Al ser inversas, son simétricas respecto la diagonal del primer y tercer cuadrantes.[/*][*]La derivada de [math]xe^x[/math] es [math]e^x+xe^x=e^x(x+1)[/math], que se anula en [math]x=-1[/math].[br]Como [math]e^x>0[/math], resulta que la función [math]xe^x[/math][br][list][*]es decreciente para x<-1, y [/*][*]creciente para x>1. [/*][*]Alcanza su mínimo en el punto [math](-1,-1/e)[/math].[/*][/list][/*][*]Como la función no es inyectiva, tenemos dos ramas para la función inversa, generadas por[br][list][*]El tramo de [math]xe^x[/math] para x<-1, donde sí es inyectiva, que se corresponde con la rama LambertW[sub]-1[/sub].[/*][*]El tramo de [math]xe^x[/math] para x≥1, donde también es inyectiva, y se corresponde con la rama LambertW.[/*][/list][/*][/list]