Das Volumen eines Glases entsteht, wenn die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{x^4}{25}[/math] ([i]x[/i], [i]f(x)[/i] in cm) um die y-Achse rotiert wird. Das Volumen des Glases beträgt dabei 500 ml. Ermittle die Höhe des Glases.[br][br][b]Hinweis:[/b] Verwende die Formel [math]\pi\cdot\int_a^b\left(f^{^{-1}}\left(x\right)\right)^2dx[/math] , um das Volumen zu berechnen, dass durch eine Rotation von [i]f(x) [/i]um die y-Achse im y-Intervall [i][a, b][/i] entsteht.

[table][tr][td]1.[/td][td]Gib die Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{25}\cdot x^4[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]ein und drücke [i]Enter.[/i] [/td][/tr][tr][td][br][/td][td][b]Anmerkung:[/b] Der Graph von [i]f(x)[/i] wird in der [i]Grafik-Ansicht [/i]angezeigt.[/td][/tr][tr][td]2.[/td][td]Berechne die Umkehrfunktion von [i]f(x)[/i] mit Hilfe des Befehls [math]Invertiere(f)[/math].[/td][/tr][tr][td]3.[/td][td]Drücke den [i]Mehr-[/i]Button und wähle [i]Beschriftung hinzufügen[/i], um die Umkehrfunktion von [i]f(x) [/i]mit [i]g[/i] zu bezeichnen.[/td][/tr][tr][td]4.[/td][td]Verwende die Formel vom Hinweis, um das Volumen zu berechnen, welches durch Rotation von [i]f(x) [/i]um die y-Achse im y-Intervall [i][0, h][/i] entsteht, wobei [i]h[/i] die unbekannte Höhe des Glases ist. [/td][/tr][tr][td][/td][td]Gib den Befehl [math]a=\pi\cdot Integral\left(g^2,0,h\right)[/math] in die [i]Eingabezeile [/i]ein und drücke [i]Enter[/i].[/td][/tr][tr][td]5.[/td][td]Da das Volumen 500 ml betragen soll, löse die Gleichung [math]\pi\cdot Integral\left(g^2,0,h\right)=500[/math].[/td][/tr][tr][td][/td][td]Verwende dazu die verwendete Beschriftung für das Integral und gib den Befehl [math]Lösungen\left(a=500\right)[/math] ein.[/td][/tr][tr][td]6.[/td][td]Drücke den [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/6/66/Numeric_toggle_button.png/24px-Numeric_toggle_button.png[/img] numerischen Umschaltbutton, um die numerische Lösung anzuzeigen. Als Lösung erhalten wir, dass das Glas in etwa 13.16 cm hoch ist.[/td][/tr][tr][td][/td][td][b]Anmerkung:[/b] Es ist ebenso möglich, mehrere Befehle in einer Eingabe zu verwenden. Zum Beispiel können Schritt 4 und 5 auch gemeinsam durch den Befehl [math]Lösungen\left(Integral\left(g^2,0,h\right)=500\right)[/math] durchgeführt werden. Der [i]GeoGebra CAS Rechner [/i]setzt dabei automatisch eine geschlossene Klammer [i]), [/i]sobald du einen Befehl mit einer offenen Klammer [i]( [/i]eingibst.[/td][/tr][/table][table][tr][td][/td][/tr][/table]