[b][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/b][br]y=f(x),y=g(x)のグラフが区間[a,b]で、ｆがｇ以上のとき[br][b][size=150]＜２つのグラフにはさまれた面積＞[/size][/b][br]S＝Integral(f-g, a,b)で２直線ｘ＝a, x=bと２本のグラフに囲まれた領域の面積が求められる。[br]特に、[br]g(x)=0のときは、S＝Integral(f-0,a,b)は関数ｆとｘ軸の間の領域。[br]f(x)=0のときは、S=Integral(0-g,a,b)はｘ軸と関数ｇの間の領域。[br][br][b][size=150]＜２つのグラフの交点が積分区間の間にあるときの面積＞[/size][/b][br]区間[a,b]の間のｘ=cでf(c)=g(c）交わるとき、aからcまでが面積＋、cからｂまでの面積がーとなる。[br]だから、ｃを境にｆとｇを上下反転させる。[br]S=Integral(f-g,a,b)=Integral(f-g,a,c)+Integral(g-f,c,b)。[br][br]積分計算は数値と文字の計算に没頭してしまいがちだ。[br]しかし、面積は図形の問題だ。[br]この例に限らず、面積は図形の問題なので、図形の持つ対称性や合同・相似などの特徴に[br]着目することで、効率よく面積を求める方針を立てて取り組みたい。[br]

パラメータ関数の微分のときに[color=#0000ff][b]微分形式[differential form][/b][/color]を利用した。[br][b][size=150](y)'=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)[/size][/b]のように。[br][br]だから、パラメータ関数の[color=#0000ff][b]積分も微分形式を利用[/b][/color]しよう。[br][color=#0000ff][b][size=150]∫ y dx=∫ y dx/dt・ dt＝∫ y(t) (x(t))' dt。[br][/size][/b][/color]つまり、関数(x, y)= (x(t), y(t))がパラメータｔで定義されているとする。[br]関数ｘだけをｔで微分してものと関数ｙの積をパラメータｔの関数として積分すればよいということだ。[br]注意点は、ｘに対するｙの関数としての積分区間[a,b]がパラメータｔの積分区間へ読み替えが必要だということだ。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「半径aの円が作る[color=#0000ff][b]サイクロイド（[/b][/color]アーチ状の曲線）とｘ軸の囲む図形の面積」は？[br]ふくらみを直線化した三角形の面積は２πa,高さが2aから２πa[sup]2[/sup]で、包む長方形は４πa[sup]2[/sup][br]だから、その真中をとって、３πa[sup]2[/sup]くらいか？[br][color=#0000ff][b]パラメータθが円の接点の回転角。接点Pが（０，０）から（2πa,0)まで動くときの軌跡は[br]x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)(θは０以上2π以下）となる。[br][/b][/color]このときのS=integral(y, x, 0, 2πa)を求めればよいね。[br](x(θ))'= dx/dθ=(aθ -a sinθ)'= a - a cosθ=a(1-cosθ)　なので、[br]S(θ)=y(θ)(x(θ))' =a[sup]2[/sup](1-cosθ)[sup]2[/sup]= a[sup]2[/sup](1-2cosθ+cos[sup]2[/sup]θ) とする。[br]cos2θ=(1+cos2θ)/2で1次式にできるから。[br]S(θ)=1/2a[sup]2[/sup](2-4cosθ+1+cos2θ)=1/2a[sup]2[/sup](3-4cosθ+cos2θ) 。インテグラルは線形だからバラすと、[br]S=integral(S(θ), θ, 0, 2π)=1/2a[sup]2[/sup](integral(3, θ, 0, 2π)+integral(-4cosθ, θ, 0, 2π)+integral(cos2θ, θ, 0, 2π))。[br]カッコ内=[math]\left[3\theta\right]^{2\pi}_0+\left[-4sin\theta\right]^{2\pi}_0+\left[\frac{1}{2}sin2\theta\right]^{2\pi}_0=\left(6\pi-0\right)+\left(0-0\right)+\left(0-0\right)=6\pi[/math]　だから、S=1/2a[sup]2[/sup]・6π=[color=#0000ff][b]3πa[/b][/color][sup][color=#0000ff][b]2[/b][/color][br][/sup]ということで、ころがる円の３倍の面積。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「半径aの大円の内部で半径が大円の４分の１の小円をすべらないようにころがすときの小円上の[br]　点の軌跡[color=#0000ff][b]アステロイド（星型）[/b][/color]の面積」[br]　x軸、y軸、原点すべて対称なので、とりあえず第１象限の範囲で求めて４倍しよう。[br]　x[sup]2/3[/sup]+y[sup]2/3[/sup]=a[sup]2/3[br][/sup]　大円に外接する正方形から大円をとった残りの面積に4a[sup]2[/sup]-πa[sup]2[/sup]=0.86a[sup]2[/sup]くらいか？[br][size=100]　[b][size=150]x＝acos[sup]3[/sup]θ,y=asin[sup]3[/sup]θ。第１象限部分の面積Sではθが０以上π/2以下[/size][/b][/size][br]変数ｘの変域[0,a]に対して、パラメータθは[π/2,0][br](x(θ))'= dx/dθ=(acos[sup]3[/sup]θ)'= 3acos[sup]2[/sup]θ(-sinθ)なので、[br]S(θ)=y(θ)(x(θ))' =[size=150][size=100]asin[sup]3[/sup]θ[/size][b]・[/b][/size]3acos[sup]2[/sup]θ(-sinθ)[sup][/sup]= -3a[sup]2[/sup]sin[sup]4[/sup]θcos[sup]2[/sup]θ= -3a[sup]2[/sup]sin[sup]4[/sup]θ(1-sin[sup]2[/sup]θ) =3a[sup]2[/sup](sin[sup]6[/sup]θ-sin[sup]4[/sup]θ)[br]I[sub]n[/sub]＝∫sin[sup]n[/sup]xdxとすると、部分積分と置換積分から、[br]I[sub]2[/sub]=π/4, I[sub]4[/sub]=π/4・3/4=3/16π、I[sub]6[/sub]=3/16π・5/6=15/96π。[br] [math]\int^0_{\frac{\pi}{2}}S\left(\theta\right)d\theta=\int^{\frac{\pi}{2}}_0-S\left(\theta\right)d\theta=3a^2\left(I_4-I_6\right)=3a^2\left(\frac{3}{16}\pi\left(1-\frac{5}{6}\right)\right)=3a^2\left(\frac{3}{16}\pi\frac{1}{6}\right)=\frac{3}{32}\pi a^2[/math][br]これを４倍すると3/8×3.14×a[sup]2[/sup]=1.1775a[sup]2[/sup]。予想よりも広い。[br]3/8πa[sup]2[/sup]=6×π(1/4a)[sup]2[/sup]だから、小円の６個分。上半分だけなら、動く円の３倍の広さだね。[br]ということは、動く円を基準にすると、サイクロイドとアステロイドの半分は同じ面積になるね。[br]（例）[br]「２つの楕円P(x): (x/√3)[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1 とQ(x): x[sup]2[/sup]+(y/√3)[sup]2[/sup]=1の共有部分の面積」は？[br]長軸が√3,短軸が１の楕円をｘとｙを入れ替えた２つの楕円の共有部分はｘ軸、ｙ軸、ｙ＝ｘの３本の[br]線について対称だから、2×2×2＝８等分した図形の８倍の面積。[br]２つの楕円の交点はｙ＝ｘの交点でもある。（x/√3)[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup]=1 から、4/3x2=1。 x=±√3/2[br]だから、積分区間をx=[0,√3/2]にして、P(x)-xを積分すればよいね。[br]P(x)=√(1-x[sup]2[/sup]/3) だから、S=8 integral(P(x)-x, 0,√3/2)[br]=8 integral(P(x), 0,√3/2)-8 integral(x, 0,√3/2)＝AーB。[br]P(x)のパラメータ表示を　x(t)=√3cost, y(t)=sint, (x(t))'=-√3sint　とすれば、[br][size=150]∫ y dx=∫ y dx/dt・ dt＝∫ sint (-√3sint) dt= -√3∫ sin[sup]2[/sup]t dt=-√3/2∫(1-cos2t)dt。[br]Aの積分区間はx(t)=√3cost=0となるt=π/2から、[br]x(t)=√3cost=√3/2となるのcost=1/2でt=π/3まで。[br][/size]B＝８・1/2(√3/2)[sup]2[/sup] - 0=3。[br]A＝[math]8\cdot-\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}\left(1-cos2t\right)dt=4\sqrt{3}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-cos2t\right)dt=4\sqrt{3}\left[t-\frac{1}{2}sin2t\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}=4\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}sin\pi\right)-4\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}sin\frac{2\pi}{3}\right)[/math][br]=4√3(π/2-π/3)+3[br]A-B=2/3・√3π

＜極形式の基本図形＞[br]半径ｒで中心角Δθの弧長Δθだから、その面積ΔS＝πr[sup]2[/sup]・(Δθr/2πr)=1/2r[sup]2[/sup]Δθだ。[br][color=#0000ff][b]底辺がΔθrで、高さがrの三角形の面積[/b][/color]とみなすこともできるね。[br]Δθ→０のとき、このΔSの極限は[b][color=#0000ff]dS=1/2r[sup]2[/sup]dθ[/color][/b]になる。[br]Sをθの関数とすると、[color=#0000ff][b]∫Sdθ=∫ 1/2r[sup]2[/sup]dθ=1/2∫r[sup]2[/sup]dθ[/b][/color]で、[br]極形式が囲む図形の面積を求めることができるはず。[br]たとえば、[b][color=#0000ff]カージオイド[cardioid]（ハート形）[/color][/b]： ｒ＝a(l +cosθ ） (a>O)[br]dr/dθ=-asinθだから、θが０からπまで変化するとき負だから、減少関数。[br]θ＝{0, π/4, π/2. 3/4π, π}に対して、r={2a, a(1+1/√2), a, a(1-1/√2), 0}と減少の一途だね。[br]p(x,y)=(ｒ；θ）はr=a(l+cos(-θ))=a(1 +cosθ) なので、ｘ軸対称。[br]θを０からπまで変化させて積分したら、２倍しよう。[br]S=[math]\frac{1}{2}\int^{\pi}_0r^2d\theta=\frac{1}{2}\int^{\pi}_0\left(a+acos\theta\right)^2d\theta=\frac{a^2}{2}\int^{\pi}_0\left(1+2cos\theta+cos^2\theta\right)d\theta=\frac{a^2}{2}\int^{\pi}_0\left(1+2cos\theta+\frac{1}{2}\left(1+cos2\theta\right)\right)d\theta[/math][br]=[math]\frac{a^2}{2}\int^{\pi}_0\left(\frac{3}{2}+2cos\theta+\frac{1}{2}cos2\theta\right)d\theta=\frac{a^2}{2}\left(\left[\frac{3}{2}\theta+2sin\theta+\frac{1}{4}sin2\theta\right]^{\pi}_0\right)=\frac{a^2}{2}\left(\left(\frac{3}{2}\pi+0+0\right)-0\right)=\frac{3\pi a^2}{4}[/math][br]だから、カージオイドの面積は3/4πa[sup]2[/sup]・2=3/2・πa[sup]2[/sup]