Katso yllä näkyvää kuvaa. Pisteessä [math]\Large -4\vec{i} - \vec{k} [/math] sijaitsee maakaasujalostamo, ja sitä lähtee maakaasuputki kohti maakaasuesiintymää, vektorin [math]\large 4\vec{i}+5\vec{j} + \vec{k} [/math] suuntaan. Pisteessä [math]\large 5\vec{i}+\vec{j} + 2\vec{k} [/math] on kaupunki, ja tästä kaupungista aiotaan rakentaa suora junatunneli joka lähtisi kaupungista vektorin [math]\large -3\vec{i}-3\vec{j} - \vec{k} [/math] suuntaan, kohti toista kaupunkia (toinen kaupunki ei näy kuvassa).[br][br]Jos tunneli kulkisi puolta kilometria lähempää maakaasuputkea, hanketta ei voida tälläisenään jatkaa. Tämän varmistamiseksi laskemme, miltä etäisyydeltä suunniteltu tunneli kulkisi maakaasuputkea.[br][br][br][br]

Ratkaisu:[br][br]Tehtävän soveltavassa osassa junatunneli ja maakaasuputki, mutta matemaattisesti tässä on kyseessä kahden suoran etäisyys toisistaan. Kirjoitetaan molemmat suorat käyttäen "insinöörimäisempää" merkintätapaa vektorille.[br][br]Sen sijaan, että kirjoittaisimme esimerkiksi [math]\large 4 \vec{i} + 5 \vec{j} + \vec{k} [/math], kirjoitamme yksinkertaisesti (4, 5, 1). Vektoreita on näin lopulta helpompi lukea, koska numerot eivät sekoitu vektorimerkintöjen sekaan.[br][br]Myös se, että joku komponentti on nolla, on helmpompi lukea tästä insinöörimäisemmästä merkinnästä. Kun kirjoitamme esimerkiksi (-3, -1, 0), on helppo nähdä, että tässä on kolmiulotteinen vektori, jonka viimeinen komponentti on nolla. Jos kirjoittaisimme [math]\large -3 \vec{i} -\vec{j} [/math], tämä voisi olla kaksiulotteinen vektori.[br][br]Vektoriyhtälöiden laskeminen muodostuu myös tällä merkintätavalla helpommaksi, koska voimme käyttää "pelkillä numeroilla" merkittyjä vektoreita vektorialgebran laskemiseen nätimmin ja helpommin. Käytämme vektorialgebrassa yleensä pystyvektorimerkintää, kuten kuvassa alla. [br][br]Alla on siis kirjoitettuna molemmat suorat käyttäen pystyvektorinotaatiota.

Tarvitsemme ratkaisua varten vielä vektorin, joka on molempia suoria vastaan kohtisuorassa, sillä lyhin etäisyys on aina kohtisuoraa etäisyyttä. Saamme muodostettua tälläisen vektorin ristitulolla.

Seuraavaksi kirjoitamme vektoriyhtälön seuraavalla logiikalla:[br][br]Oletetaan, että lähdemme origosta, ja kuljemme vektorin [math]\large \vec{r_{02}} [/math] sanelemaan pisteeseen, ja tästä vielä "sopivan verran" vektorin [math]\large \vec{v_2} [/math] suuntaan. Oletetaan, että näin olemme päässeet siihen suoran [math]\large\cal{L_2} [/math] pisteeseen, joka on lähimpänä suoraa [math]\large\cal{L_1} [/math].[br][br]Toisaalta, oletetaan, että lähdemme origosta, ja kuljemme vektorin [math]\large \vec{r_{01}} [/math] sanelemaan pisteeseen, ja tästä vielä "sopivan verran" vektorin [math]\large \vec{v_1} [/math] suuntaan. Olemme näin päässeet siihen suoran [math]\large\cal{L_1} [/math] pisteeseen, joka on lähimpänä suoraa [math]\large\cal{L_2} [/math]. Jos tästä pisteestä kuljemme "sopivan verran" yllä laskemaamme kohtisuoraa vektoria [math]\large \vec{n} [/math] pitkin, meidän pitäisi päästä tätäkin reittiä äskeisessä kappalessa kuvailtuun pisteeseen; suoran [math]\large\cal{L_2} [/math] pisteeseen, joka on lähimpänä suoraa [math]\large\cal{L_1} [/math].[br][br]Emme tiedä vielä, minkä suuruisia nämä "sopivan verran" kuljetut pätkät olivat. Ne muodostuvat vektoriyhtälöön tuntemattomiksi, ja ne voidaan siirä ratkaista. Kirjoitetaan

Kolmesta tuntemattomasta ja kolmesta yhtälöstä muodostuvaa yhtälöparia ei ole mielekästä ratkaista kynällä ja paperilla, voimme käyttää ratkaisuun vaikkapa MatLabia tai Wolfram Alphaa. Wolfram Alpha osaa ratkaista lineaarisia yhtälöryhmiä, kirjoita sivuston esittämään kysymykseen "What do you want to compute or learn about" sanat "linear system", ja pääset lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisuun erikoistuneelle sivulle. [br][br]Tämän yhtälöryhmän ratkaisuina saadaan[br][br][math]\large[br]t_1 = -2.8, t_2 = 5, h=0.1[br][/math][br][br]Emme tarvitse listatuista ratkaisuista muita kuin [math]\large h [/math]:n. Ristitulolla laskettua kohtisuoraa vektoria [math]\large \vec{n} [/math] pitkin kuljetaan siis 0.1 kertaa tämän vektorin oma pituus, eli [br][br][math]\large[br]0.1 \cdot \sqrt{ (-2)^2 +8^2 } \approx 0.82462[br][/math]km[br][br]Nähdään, että putkien lyhin etäisyys toisistaan on noin 800 metriä, joka on enemmän kuin puoli kilometriä. Junatunneli voidaan siis toteuttaa aiotuilla suunnitelmilla.