VECTORES EN EL ESPACIO
Table of Contents
- Representación ordinaria y libre de vectores
- ¿Qué es un vector?
- Tipos de vectores
- Representación ordinaria y libre de vectores
- Magnitud y cosenos directores de un vector
- Definición: Magnitud de un vector.
- Magnitud de un vector
- Cosenos directores de un vector
- Vectores unitarios
- Vector unitario. Definiciòn
- Vector unitario
- Operaciones con vectores
- Suma de vectores
- Resta de vectores
- Multiplicacion por escalar.
- Producto cruz o vectorial
- Relaciones entre vectores
- Àngulos entre vectores
- Vectores ortogonales
- Vectores Paralelos
- Proyección ortogonal de un vector sobre otro
- Aplicaciones de vectores
- Área de un paralelogramo.
- Área de un triángulo.
- Material Extra
- Suma de vectores
- Vectores libres
- Area del Triangulo
¿Qué es un vector?
[justify]Se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido.[br]Los vectores permiten representar magnitudes físicas dotadas no sólo de intensidad, sino de dirección, como es el caso de la fuerza, la velocidad o el desplazamiento. Ese rasgo de contar con dirección es el que distingue a las magnitudes vectoriales de las escalares. [br]Los vectores se representan gráficamente con una flecha. Asimismo, cuando deben ser expresados en una fórmula, se representan con una letra coronada por una flecha.[br]Además, un vector puede representarse en un plano cartesiano mediante un conjunto de coordenadas [b](x,y)[/b], o en uno tridimensional [b](x,y,z)[/b]. [/justify]
Ejemplo 1:[br][img width=250,height=250]https://s1.significados.com/foto/vacio-2-6f_sm.jpg[/img][br]Ejemplo 2:[br][img width=250,height=33]https://s1.significados.com/foto/screenshot-app-6b.box-6b.com-2020-6b.03-6b.05-16-50-58-6b_sm.png[/img]
Características de los Vectores
Los componentes de los vectores que definen sus características son los siguientes:[br][img width=500,height=250]https://s1.significados.com/foto/vector-00.svg_bg.png[/img][list][justify][/justify][*][b]Módulo o magnitud: [/b]se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento de recta.[/*][*][b]Dirección:[/b] se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje horizontal imaginario, con el cual forma un ángulo.[/*][*][b]Sentido:[/b] se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del vector.[/*][*][b]Punto de aplicación:[/b] correspondiente al lugar o punto geométrico en donde inicia el vector gráficamente.[/*][/list]
Sentido de un vector
[justify]El sentido de los vectores se representa gráficamente mediante una punta de flecha apuntando en alguna dirección. Esto representa hacia qué lado de la línea de acción (dirección) se dirige el vector, o sea, hacia dónde apunta.[br]El sentido es sumamente importante a la hora de expresar magnitudes vectoriales, ya que puede determinar el tipo de operación o cálculo que es posible realizar con las mismas. [/justify]
Definición: Magnitud de un vector.
Magnitud de un vector.
La magnitud de un vector [img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/magnitude-and-direction-of-vectors/magnitude-and-direction-of-vectors-image001.gif[/img] es la distancia entre el punto inicial [i]P [/i]y el punto final [i]Q [/i]. En símbolos la magnitud de [img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/magnitude-and-direction-of-vectors/magnitude-and-direction-of-vectors-image001.gif[/img] es escrita como [img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/magnitude-and-direction-of-vectors/magnitude-and-direction-of-vectors-image002.gif[/img] .[br]Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.[br][img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/magnitude-and-direction-of-vectors/magnitude-and-direction-of-vectors-image009.gif[/img][br][img]https://www.varsitytutors.com/assets/vt-hotmath-legacy/hotmath_help/topics/magnitude-and-direction-of-vectors/magnitude-and-direction-of-vectors-image003.gif[/img]
Vector unitario. Definiciòn
Definición.
Un [b]vector unitario[/b] es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.[br][table][tr][td][img]https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/magnitudes/magnitudes_files/unitario.gif[/img][/td][td][b]AB[/b] mide 3, por lo que:[br][img]https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/magnitudes/magnitudes_files/eq_unit.gif[/img][br]Y su módulo:[br][img]https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/magnitudes/magnitudes_files/modAB.gif[/img][br][/td][/tr][/table]Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos [i]x,y,z[/i] se emplean los vectores [b]i[/b], [b]j[/b] y [b]k[/b]:[br][table][tr][td]Vectores unitarios para los ejes cartesianos:[br][/td][td][img]https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/magnitudes/magnitudes_files/triedro.gif[/img][/td][/tr][/table][br][table][tr][td]La orientación de estos tres ejes cartesianos puede cambiarse, [b]siempre y cuando su orientación relativa sea la misma[/b].[br][/td][/tr][/table]
Suma de vectores
Definición
La [b]suma de vectores[/b] es formar una cadena de [b]vectores[/b] donde el [b]vector[/b] que engloba a todos los [b]vectores[/b] es el [b]vector[/b] de la [b]suma[/b]. En otras palabras, la [b]suma de vectores[/b] es la unión de [b]vectores[/b] a través de juntar la parte delantera de un [b]vector[/b] con la parte trasera del otro y cumple con la propiedad conmutativa.
Ejemplo
Àngulos entre vectores
Definicion.
Un vector es una cantidad que tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). Los vectores pueden ser representados en dos dimensiones, por ejemplo[b] [i]A[/i] = (Ax, Ay)[/b], y en tres dimensiones, [b][i]A[/i] = (Ax, Ay, Az)[/b]. Dos vectores [b][i]A[/i] y [i]B[/i][/b] pueden están inclinados en un [b]ángulo θ [/b]respecto uno del otro (Figura I); la forma más sencilla de determinar dicho ángulo, es calcular el arco coseno del producto escalar de ambos vectores dividido entre el producto de sus módulos:[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img]
FÓRMULA PARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
El ángulo entre dos vectores [i]A[/i] = (Ax, Ay, Az) y [i]B[/i] = (Bx, By, Bz) se determina a partir de la siguiente fórmula:[br][img width=283,height=133]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\LARGE&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img][br]Donde:[br][list][*][i]A[/i][i]B [/i]es el [url=https://miprofe.com/producto-escalar/]producto escalar[/url] de [i]A[/i] y [i]B[/i].[/*][*]|[i]A[/i]| y |[i]B[/i]| son los [url=https://miprofe.com/vectores/]módulos[/url] de cada vector.[/*][/list]
PASOS PARA CALCULAR EL ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Supongamos que se desea calcular el ángulo entre los vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(A_{x},A_{y},A_{z})&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(B_{x},B_{y},B_{z})&space;\end{align*}[/img][br][list=1][*]Calcular el producto escalar de ambos vectores:[/*][/list][img width=281,height=28]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}[/img][br][list=1][*]Calcular (por separado) los módulos de ambos vectores:[/*][/list][img width=260,height=43]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|=\sqrt{\left&space;(&space;A_{x}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;A_{y}&space;\right&space;)^{2}\left&space;(&space;A_{z}&space;\right&space;)^{2}}[/img][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|=\sqrt{\left&space;(&space;B_{x}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;B_{y}&space;\right&space;)^{2}+\left&space;(&space;B_{z}&space;\right&space;)^{2}}[/img][br][list=1][*]Sustituir los valores del paso 1 y paso 2 en la fórmula:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=\arccos&space;\left&space;(\frac{\vec{A}\cdot&space;\vec{B}}{\left&space;|&space;\vec{A}&space;\right&space;|\left&space;|&space;\vec{B}&space;\right&space;|}&space;\right&space;)[/img]
EJERCICIOS RESUELTOS
[list=1][*]Calcular el ángulo entre los vectores:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(2,4)&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(-2,&space;3)&space;\end{align*}[/img][br]Calculamos el producto escalar de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=(2)(-2)+(4)(3)=-4+7=3[/img][br]Calculamos los módulos de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\left&space;|\vec{A}\right&space;|&=\sqrt{(&space;2&space;)^{2}+(4)^{2}}=&space;\sqrt{4+16}=\sqrt{20}&space;\\&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|&=\sqrt{(&space;-2&space;)^{2}+(3)^{2}=&space;\sqrt{4+9}=\sqrt{13}&space;}&space;\end{align*}[/img][br]Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:[br][br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\theta&space;&=\arccos&space;(\frac{6}{\sqrt{20}\sqrt{13}})&space;\\&space;&=\arccos&space;(\frac{6}{\sqrt{260}})&space;\\&space;&=&space;1,18\hspace{0.3em}rad&space;\end{align*}[/img][br]Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=67,6^{\circ}[/img][br][br][br][list=1][*]Calcular el ángulo entre los vectores:[/*][/list][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\vec{A}&space;&=&space;(-1,3,4)&space;\\&space;\vec{B}&space;&=&space;(5,-2,7)&space;\end{align*}[/img][br]Calculamos el producto escalar de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\vec{A}\cdot&space;\vec{B}=(-1)(5)+(3)(-2)+(4)(7)=-5-6+28=17[/img][br]Calculamos los módulos de ambos vectores:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\left&space;|\vec{A}\right&space;|&=\sqrt{(&space;-1&space;)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}=&space;\sqrt{1+9+16}=\sqrt{26}&space;\\&space;\left&space;|\vec{B}\right&space;|&=\sqrt{(&space;5&space;)^{2}+(-2)^{2}+(7)^{2}=&space;\sqrt{25+4+49}=\sqrt{78}&space;}&space;\end{align*}[/img][br]Sustituimos los resultados anteriores en la fórmula:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\begin{align*}&space;\theta&space;&=\arccos&space;(\frac{17}{\sqrt{26}\sqrt{78}})&space;\\&space;&=\arccos&space;(\frac{17}{\sqrt{2028}})&space;\\&space;&=&space;1,562\hspace{0.3em}rad&space;\end{align*}[/img][br]Como 1 radian ≅ 57.296 °, entonces:[br][img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;\theta&space;=89,5^{\circ}[/img]
Área de un paralelogramo.
El área de un paralelogramo es la región cubierta por un paralelogramo en un plano 2D. Un paralelogramo es una figura bidimensional con cuatro lados y es un caso especial de un cuadrilátero. La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360 grados. Un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos con medidas iguales. Dado que es una figura bidimensional, tiene un área y un perímetro.
¿Cómo encontrar el área de un paralelogramo?
Para encontrar el área de un paralelogramo, multiplicamos la longitud de la base perpendicular por su altura. Debemos tener en cuenta que la base y la altura del paralelogramo son perpendiculares la una a la otra, mientras que el lado lateral del paralelogramo no es perpendicular a la base. Entonces, podemos usar una línea entrecordada para representar a la altura del paralelogramo:[br][img width=338,height=188]https://www.neurochispas.com/wp-content/uploads/2021/03/dimensiones-de-paralelogramo-con-altura.png[/img][br]Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula para calcular el área de un paralelogramo:[br][table][tr][td][img width=62,height=15]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd8eea2c8af081bacc8357752ce206e_l3.svg[/img][/td][/tr][/table] en donde, [i]b[/i] es la longitud de la base y [i]h[/i] es la longitud de la altura.[br][br][b]Área del paralelogramo sin usar la altura:[/b] Si es que no conocemos la altura de un paralelogramo, podemos usar trigonometría para encontrar su área con la siguiente fórmula:[br][table][tr][td][img width=114,height=20]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bbad7727b34c3625a32fe4709ca879a_l3.svg[/img][/td][/tr][/table] [br]en donde, [i]a[/i] y [i]b[/i] son las longitudes de los lados del paralelogramo y [i]x[/i] es la medida del ángulo entre los lados.[br][br][b]Área del paralelogramo usando diagonales:[/b] El área de cualquier paralelogramo también puede ser calculada usando las longitudes de sus diagonales usando la siguiente fórmula:[br][table][tr][td][img width=130,height=28]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1761f80f31f559109a9c18b8f63e653_l3.svg[/img][/td][/tr][/table] en donde, [img width=52,height=18]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-252626fac219929128e733ed3b986026_l3.svg[/img] son las longitudes de las diagonales y [i]y[/i] es el ángulo de intersección de las diagonales.
Ejercicio 1.
Un paralelogramo tiene bases de longitud 12 m y una altura de 11 m. ¿Cuál es su área?[br]SoluciónTenemos los siguientes datos:[br][list][*]Base, [img width=54,height=14]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0ae1410bb094f37d08f57d632120758_l3.svg[/img]m[/*][*]Altura, [img width=56,height=14]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0632a7ae51f6634cb5cc5aeb79967767_l3.svg[/img] m[/*][/list]Usamos la fórmula del área con estos datos:[br][img width=62,height=15]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd8eea2c8af081bacc8357752ce206e_l3.svg[/img][br][img width=112,height=20]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-237cfda3dce9a8f1098536d3f17c461e_l3.svg[/img][br][img width=71,height=15]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-587cad15e109a1b43cc15f113c02cafc_l3.svg[/img][br][b][color=#ff0000]El área del paralelogramo es 132 m².[/color][/b]
Ejercicio 2.
El área de un paralelogramo es igual a 182 m². Si es que su altura es 13 m, ¿cuál es la longitud de su base?[br]SoluciónTenemos los siguientes datos:[br][list][*]Área, [img width=71,height=15]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-303250c837d55bbe82d08a7a0ebf9680_l3.svg[/img] m²[/*][*]Altura, [img width=57,height=14]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cc3f7bb3fb520f3192ffe301ef220ea_l3.svg[/img] m[/*][/list]Usamos la fórmula del área con estos valores y resolvemos para la base, [i]b[/i]:[br][img width=62,height=15]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fd8eea2c8af081bacc8357752ce206e_l3.svg[/img][br][img width=85,height=14]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7745fb69c27e9ed6cf5bd87da9bf686_l3.svg[/img][br][img width=55,height=14]https://www.neurochispas.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f28926dfb28f4905bb60cd293c56ae39_l3.svg[/img][br][b][color=#ff0000]La longitud de la base es 14 m.[/color][/b]
Suma de vectores
Suma de vectores
suma de vectores