Gegeben ist ein zweistufiger Produktionsprozess, der sich druch die Matrizen [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] beschreiben lässt:[br][math]\vec r \overset{\mathbf A}{\longrightarrow} \vec z \overset{\mathbf B}{\longrightarrow} \vec p[/math] bzw. [math]\vec r \overset{\mathbf C}{\longrightarrow} \vec p[/math][br]Dann gelten die Gleichungen [math]\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}[/math], sowie [math]\vec{r}=\mathbf{A}\cdot\vec{z}[/math] und [math]\vec{z}=\mathbf{B}\cdot\vec{p}[/math] und [math]\vec{r}=\mathbf{C}\cdot\vec{p}[/math][br][br]In jedem Produktionsschritt fallen Kosten an. [color=#980000][b]Kostenvektoren sind Zeilenvektoren[/b][/color].[br][list][*][math]\vec{k}_R = \begin{pmatrix} k_{R_1}& k_{R_2}& ...\end{pmatrix}[/math] : Der [b][color=#980000]Rohstoffkostenvektor[/color][/b] beschreibt die Kosten für jeweils eine Mengeneinheit der Rohstoffe [math]R_1[/math], [math]R_2[/math] usw.. [/*][*][math]\vec{k}_Z = \begin{pmatrix} k_{Z_1}& k_{Z_2}& ...\end{pmatrix}[/math] : Der [b][color=#980000]Kostenvektor für die Fertigung der Zwischenprodukte[/color][/b] beschreibt die Kosten, die dabei anfallen, aus den Rohstoffen jeweils eine Mengeneinheit der Zwischenprodukte [math]Z_1[/math], [math]Z_2[/math] usw. herzustellen.[/*][*][math]\vec{k}_E = \begin{pmatrix} k_{E_1}& k_{E_2}& ...\end{pmatrix}[/math] : Der [b][color=#980000]Kostenvektor für die [b][color=#980000]Fertigung[/color][/b] der Endprodukte[/color][/b] beschreibt die Kosten, die dabei anfallen, aus den Zwischenprodukten jeweils eine Mengeneinheit der Endprodukte [math]E_1[/math], [math]E_2[/math] usw. herzustellen.[br][/*][/list][br]Damit lassen sich folgende Kosten berechnen[br][list][*][math]\text{\Large{${K_R=\vec{k}_R\cdot\vec{r}}$}}[/math] Die Kosten für die Rohstoffe [/*][*][math]\text{\Large{$K_Z=\vec{k}_Z\cdot\vec{z}$}}[/math] Die Kosten für die Fertigung der Zwischenprodukte[/*][*][math]\text{\Large{$K_E=\vec{k}_E\cdot\vec{p}$}}[/math] Die Kosten für die Fertigung der Endprodukte: [/*][/list]Damit sind alle variablen Kosten in diesem Produktionsprozess:[br][math]\begin{array}{ll}[br]K_v &= K_R + K_Z + K_E\\[br]&=\vec k_R\cdot \vec r +\vec k_Z\cdot \vec z +\vec k_E\cdot \vec p [br] \end{array}[/math][br][br]Mit [math]\vec{r}=\mathbf{C}\cdot\vec{p}[/math] und [math]\vec{z}=\mathbf{B}\cdot\vec{p}[/math] lässt sich das auch so schreiben:[br][math]\begin{array}{ll}[br]K_v &=\vec k_R\cdot \mathbf C\cdot \vec p +\vec k_Z\cdot \mathbf B\cdot \vec p +\vec k_E\cdot \vec p \\[br]&=(\vec k_R\cdot \mathbf C +\vec k_Z\cdot \mathbf B +\vec k_E)\cdot \vec p\\[br]&=\vec k_V\cdot \vec p[br] \end{array}[/math][br][br]Man kann also den Vektor für die Variablen Kosten berechnen, mit[br][math]\text{\Large{$\vec k_V=\vec k_R\cdot \mathbf C +\vec k_Z\cdot \mathbf B +\vec k_E$}}[/math][br][br][b][color=#980000]Achten Sie darauf, dass Kostenvektoren Zeilenvektoren sind und von links multipliziert werden.[/color][/b]

Im folgenden Applet werden mit Zufallszahlen die Matrizen [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] erzeugt, so wie ein Produktionsvektor [math]\vec{p}[/math] und die Kostenvektoren [math]\vec{k}_R[/math], [math]\vec{k}_Z[/math] und [math]\vec{k}_E[/math].[br]Berechnen Sie [br][list][*]die Kosten für die Rohstoffe [math]K_R[/math][/*][*]die Kosten für die Herstellung der Zwischenprodukte [math]K_Z[/math][/*][*]die Kosten für die Herstellung der Endprodukte [math]K_E[/math][/*][*]und die variablen Kosten [math]K_V[/math][br][/*][/list]