In den letzten Stunden haben wir uns mit [b]lokalen Steigungen/Änderungsraten[/b] und [b]Tangenten[/b] beschäftigt.[br][br]Zuvor haben wir mit [b]mittleren oder durchschnittlichen Steigungen/Änderungsraten[/b] und [b]Sekanten[/b] gearbeitet. Wir haben die zwei Schnittpunkte einer Sekante bzw. die zwei Werte im Differenzenquotienten [b]immer näher aneinander geschoben[/b], sodass wir eine gute Schätzung für die Steigung an einer ganz genauen Stelle x[sub]0[/sub] [size=100]erhalten haben [/size][br][br]Dafür haben wir als erstes uns den Differenzenquotienten [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] angeschaut. [br]In diese Formel wurden die neuen Bezeichnungen [math]x_1=x_0[/math], [math]x_2=x[/math], [math]y_1=f\left(x_0\right)[/math] und [math]y_2=f\left(x\right)[/math] eingesetzt.[br][br]So entstand der Differenzquotient: [math]m=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math].[br] [br]Für unsere Vorgehensweise, bei der wir x immer näher an x[sub]0[size=100][/size][/sub] geschoben haben, gibt es in der Mathematik folgende Schreibweise: [math]f'\left(x\right)=lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math].[br][br]Man kann die zwei unterschiedlichen Stellen [math]x[/math] und [math]x_0[/math] nun auch wie folgt verstehen: Beide Werte unterscheiden sich ja nur um eine gewisse Zahl bzw. haben einen gewisse Zahl als Unterschied. Mit dieser Idee können wir nun [math]x=x_0+h[/math] umformen, wobei h eben der Unterschied zwischen [math]x[/math] und [math]x_0[/math] ist. Wollen wir beide Punkte immer näher aneinander schieben, müssen wir das h also immer kleiner werden lassen, sodass wir am Ende praktisch [math]x=x_0+0=x_0[/math] haben. [br][br]Setzen wir dies in die Formal oben ein, erhalten wir die Formel für die [b]h-Methode:[br][math]f'\left(x\right)=lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math][br][/b]

[justify][b]a) [/b]Experimentiere mit den Schieberegeln und mache aus der Sekante eine Tangente. [br][br][b]b) [/b]Beschreibe kurz in eigenen Worten, was in der Grafik passiert, sodass aus der Sekante eine Tangente wird. Was ist der Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente?[br][/justify]

[b]a) [/b]Schau die den Funktionsgraphen genau an. Nenne Bereiche, in denen die Steigung >0 (größer als Null), <0 (kleiner als Null) oder =0 (gleich Null) ist.[br][br][b]b) [/b]Nenne Bereiche, in denen der Graph besonders stark steigt oder fällt. Erkläre, woran du das siehst.[br][b][br]c) [/b]Überprüfe deine Beobachtungen mithilfe der Tangente.

[b]a)[/b] Ermittle mithilfe der Tangente die Steigungen an den Stellen x[sub]0[/sub]=(-3;-2;-1;0;1;2;3) und trage die Werte in die Tabelle auf dem Arbeitsblatt ein. [br][br][b]b) [/b]Trage nun die Wertepaare aus der Tabelle als Punkte in das Koordinatensystem ein. [br][br][b]c)[/b] Schaue dir die Punkte im Koordinatensystem an. Formuliere, was dir auffällt. 

a)Überprüfe deine Überlegungen durch weitere Punkte wie zum Beispiel für x[sub]0[/sub]=(-2,5; 1,5 usw.) die durch die Tangenten-Anwendung oben erhältst. [br][br]Führe die gleiche Vorgehensweise für [math]f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3[/math] durch --> siehe unten