[b][br]Contenido[br][br][/b]Esta actividad es una compilación de construcción de polígonos regulares por varios métodos.[br][br]- Construcción de polígonos regulares cuando se da el lado del polígono[br][br]- Construcción de polígonos regulares cuando se da el radio de la circunferencia circunscrita[br][br]- Construcción especial del hexágono regular y del triángulo regular (equilátero)[br][b][br][br]Polígono regular[/b] es todo polígono que tiene sus lados y sus ángulos internos congruentes.[br][br]Un polígono regular se puede construir a partir del lado del polígono y también a partir del radio de la circunferencia circunscrita.[br][br]A continuación se muestran dos formas de construir cuando se da el lado y dos formas cuando se da la circunferencia circunscrita.[br][br][br][b]Construcción de polígonos regulares dado el lado del polígono[/b]:[br][br]El lado del polígono es el segmento AB.[br][br][b]Construcción No. 1[/b]:

[b]1. Construcciones inciales[br][br][/b]- Por los extremos del lado, trazar circunferencias con radio AB. Las dos circunferencias se intersecan en los punto Q[sub]6[/sub] y E. [br][br]- Trazar la recta que pasa por estos dos puntos.[br][br]- Trazar circunferencia con centro Q[sub]6[/sub] con radio Q[sub]6[/sub]A. Se determina el punto F.[br][br]El objetivo es dividir la distancia FQ[sub]6[/sub] en seis partes iguales, aplicando el teorema de Thales.[br][br][b]2. Semirrecta de construcción FG[br][br][/b]- Trazar semirrecta FG. El punto G es libre, se puede ubicar en cualquier parte.[br][br]- Dividir le semirrecta FG en tantas partes como lados tenga el polígono. En este caso, hasta 13 lados. [br][br]La longitud de cada división es libre. En el applet se determina con el deslizador dFP[sub]1[/sub][b].[br][br]3. Semirrecta Q[sub]6[/sub]P[sub]6[/sub][br][br]4. Paralelas a Q[sub]6[/sub]P[sub]6[/sub][/b] [br][br]- Trazar paralelas a Q[sub]6[/sub]P[sub]6[/sub] por los puntos P[sub]5[/sub] hasta P[sub]13[/sub].[br][br][b]5. Centro de los polígonos[/b][br][br]Son los puntos de intersección de cada paralela con la recta FQ[sub]6[/sub] y determinan el centro de la circunferencia que pasa por A y por B de acuerdo con el número de lados del polígono.[br][br][b]6. Construcción del polígono[br][br][/b]- Seleccionar el número de lados del polígono. Se hace con el deslizador [b]n[/b]. Por ejemplo, n = 8 (octágono)- Trazar circunferencia con centro en Q[sub]8[/sub] y radio Q[sub]8[/sub]A. Se obtiene la circunferencia circunscrita al polígono[br][br]- Dividir con el compás la circunferencia circunscrita. Se trazan sucesivamente circunferencias con centro en los extremos del lado y radio el mismo lado. Se obtienen los vértices del polígono.[br][br][i]Observación: Este es un método aproximado. [br][br][br][/i][b]Construcción No. 2:[/b]

- Calcular la medida del ángulo interno de polígono.[br][br] Si n = 10, [math]\theta=144°[/math] Se recuerda la fórmula: [math]\theta=\frac{180°\left(n-2\right)}{n}[/math] [br][br]- Medir con el transportador y por un extremo del lado, el ángulo calculado. La longitud del lado BC se puede determinar con una circunferencia con centro en B y radio BA. [br][br]- Repetir el proceso para los demás lados.[br][br]Se puede observar que si el lado del polígono regular se mantiene constante, el radio de la circunferencia circunscrita (segmento VA) es mayor a medida que el número de lados se hace mayor.[br][br][br][b]Construcción [b]de polígonos regulares [/b]dado el radio de la circunferencia circunscrita[br][br]Construcción No. 1[br][/b][br]La circunferencia circunscrita tiene centro en H y su radio es R

[b]1. Construcciones iniciales[br][br][/b]- Trazar una circunferencia con centro en H y radio igual a R[br][br]- Trazar un diámetro por un punto de la circunferencia (punto D)[br][br]- Trazar una circunferencia con centro en cada extremo del diámetro. Se intersecan en el [b]punto A[/b][br][br][b]2. Semirrecta de construcción DG y Puntos Q[sub]n [/sub][br][br][/b]Trazar semirrecta DG y dividirla en partes iguales. El punto G es libre. El tamaño de cada división se define con el deslizador dDD[sub]1[/sub]. Se obtienen los puntos D[sub]n[/sub] [br][br][b]3. Defina el número de lados[br][br][/b]Utilizar el deslizador n para mostrar la construcción de cada polígono. Se muestra desde 5 hasta 10 lados:[br][br]- Trazar semirrecta D[sub]n[/sub] y que pasa por F. Si n = 5 la semirrecta va de D[sub]5[/sub] y pasa por F[br][br]- Trazar semirrecta paralela a D[sub]5[/sub]F que pase por D[sub]2[/sub]. Se interseca con el diámetro en el punto Q[sub]n[/sub] [br][br]- Trazar recta que pasa por A y por Q[sub]n[/sub]. Esta recta interseca a la circunferencia original en B[sub]5[/sub] porque n = 5. [b]El segmento DB[sub]5[/sub] es el lado del polígono[/b].[br][br]- Trazar circunferencias sucesivas con radio igual al lado para obtener los otros vértices.[br][br][i]Observación: Este también es un método aproximado. [/i][br][br][br][b]Construcción No. 2:[/b]

- Calcular la medida del ángulo central del polígono.[br][br] Si n = 5, [math]\alpha=72°[/math] Se recuerda la fórmula, [math]\alpha=\frac{360°}{n}[/math][br][br]- Dividir la circunferencia en [b]n[/b] partes utilizando el transportador. El segmento [b]AB[/b] es el lado del plígono.[br][br]Se puede observar que si el radio de la circunferencia circunscrita se mantiene constante, el lado del polígono es menor a medida que el número de lados se hace mayor.[br][br][br][b]Procedimiento especial para construir un hexágono y un triángulo regulares inscritos[/b]

[b]Construcción del hexágono BCDEFGB[br][br][/b]- Trazar una circunferencia con centro A y radio AB[br][br]- Con centro en B y con el mismo radio, trazar otra circunferencia. Se intersecan en C y G.[br][br]- Trazar circunferencia con el mismo radio con centro en C y en G. Se obtenen los vértices D y F[br][br]- Repetir el proceso con circunferencias en D y F. Las dos coinciden en el vértice E[br][br][b]Justificación[/b]: [br][br]El triangulo central ABC es un [b]triángulo equilátero[/b] porque:[br][br]- el ángulo central en un hexágono mide 60°[br][br]- la suma de las medidas de los ángulos ABC y ACB del triángulo ABC, equivale a 180° - 60° = 120°[br][br]- el triángulo ABC es isósceles porque los lados AB y AC son congruentes e iguales al radio[br][br]- los ángulos ABC y ACB son congruentes porque el triángulo ABC es isóscles. Por lo tanto los dos ángulos son congruentes e iguales a 60°.[br][br]- los lados AB, BC y CA son congruentes e iguales al radio[br][br]Como conclusión, [b]la medida del lado de un hexágono regular es igual a la medida del radio de la circunferencia circunscrita[/b].[br][br][br][b]Construcción del triángulo NKJN[br][br][/b]Hacer el proceso de construcción del hexágono y seleccionar sólo tres vértices no consecutivos.