Sie verkaufen auf einem Markt eine fair produzierte Tasche aus [br]recycelter Lastwagenplane. Ihre Kosten werden von folgender Funktion [br]beschrieben: [math]K(x)=2\cdot x^3-20\cdot x^2+80\cdot x+260[/math][br][list=a][*] Ähnliche Taschen werden auf dem Markt für 60€ angeboten. Berechnen Sie, ob Sie mit diesem Preis langfristig oder wenigstens kurzfristig überleben können.[/*][*]Ihre Taschen haben ein Alleinstellungsmerkmal: Sie haben einen Magnetverschluss entwickelt, der die Tasche nicht nur gut verschließt, sondern mit dem sie die Tasche auch an allen magnetischen Gegenständen bequem aufhängen können. Daher können sie – Dank der erfolgreichen Werbeaktion – einen Preis von 95€ verlangen. Berechnen sie, wie viel Taschen Sie herstellen müssen, damit Ihr Gewinn maximal ist, den Stückgewinn und den gesamten Gewinn. [br][/*][/list]
Hier wird der Lösungsweg mit dem CAS (HP Prime) bechrieben[br]a. Berechnen des Betriebsoptimums [br][list=1][*]Abspeichern der Kostenfunktion als [color=#0000ff]k(x)[/color][/*][*]Stückkosten abspeichern: [color=#0000ff]k(x)/x[/color] eingeben und als [color=#0000ff]sk(x)[/color] abspeichern. Den Term dokumentieren.[/*][*]Grenzkosten abspeichern: [color=#0000ff]k'(x)[/color] eingeben und als [color=#0000ff]k1(x)[/color] abspeichern. Den Term dokumentieren.[/*][*]Berechnen des [b]Betriebsoptimums[/b], also der Schnittstelle der Grenzkostenfunktion und der Stückkostenfunktion: Mathematischer Ansatz: [math]K'\left(x_{BO}\right)=k(x_{BO})[/math] CAS: [color=#0000ff]solve(k1(x)=sk(x),x)[/color] [math]\Rightarrow x_{BO}=6,53[/math][/*][*]Berechnen der [b]Langfristigen Preisuntergrenze[/b]: [math]LPUG=K'(x_{BO})=k\left(x_{BO}\right)=k\left(6,53\right)\approx74,6[/math] CAS: [color=#0000ff]k1(6.53)[/color][/*][*]Berechnen des [b]Betriebsminimums[/b], also der Schnittstelle der variablen Stückkostenfunktion und der Grenzkostenfunktion: Dazu abspeichern der variablen Kosten: [color=#0000ff]k(x)-k(0)[/color] eingeben und als [color=#0000ff]vk(x)[/color] abspeichern. Dann variable Stückkosten abspeichern: [color=#0000ff]vk(x)/x[/color] eingeben und als [color=#0000ff]vsk(x)[/color] speichern, die beiden Terme dokumentieren. [br]Nun die Schnittstelle berechnen: Mathematischer Ansatz: [math]k_v(x_{BM})=K'(x_{BM})[/math] CAS: [color=#0000ff]solve(k1(x)=vsk(x),x)[/color] [math]\Rightarrow x_{BM}=5[/math][/*][*]Berechnen der [b]Kurzfristigen Preisuntergrenze[/b]: [math]KPUG=K'(x_{BM})=K'(5)=30[/math] CAS: [color=#0000ff]k1(5)[/color][br][/*][*][b]Interpretation[/b]: Der Preis von 60€ liegt unterhalb der LPUG von [math]74,6GE[/math], daher ist ein langfristiges Überleben ihres Betriebes nicht gesichert. Allerdings liegt der Preis deutlich über der [math]KPUG=30GE[/math], d.h. kurzfristig können Sie diese Marktsituation überstehen da nur ein Teil Ihrer Fixkosten nicht gedeckt sind.[/*][/list]b. Gefragt ist nun der Gewinn. Weil der Preis [math]p[/math] der Ware höher ist als die langfristige Preisuntergrenze, machen Sie tatsächlich Gewinn. Wenn der Preis mit [math]p[/math] vorgegeben ist, dann machen Sie den [b][i]maximalen[/i][/b] Gewinn, wenn für Ihre Ausbringungsmenge [math]x_g[/math] gilt: [math]p=K'(x_g)[/math] (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/gcc9hzt6#material/n9bgghyv]hier[/url]).[br][list=1][*]Berechnen der günstigsten Ausbringungsmenge [math]x_g[/math], für die [math]p=K'(x_g)[/math] gilt: CAS [color=#0000ff]solve(95=k1(x),x)[/color] [math]\Rightarrow x_1=-0,356[/math] und [math]x_2=7,02[/math].. Eine negative Warenmenge ist nicht im sinnvollen Definitionsbereich, also ist [math]x_g=7,02[/math]. [color=#980000][i]Hier ist es immer richtig, den höheren Wert zu verwenden.[/i][/color][/*][*]Der [b]Stückgewinn[/b] ist [math]g=K'(x_g)-k(x_g)=p-k(x_g)=95-75,2=19,8[/math] CAS: [color=#0000ff]95-sk(7.02)[/color][/*][*]Dann ist der [b]Gewinn[/b]: [math]G=g\cdot x_g=19,8GE/ME\cdot7,02ME=139GE[/math] [br][/*][*][b]Interpretation[/b]: Sie müssen [math]x_g=7,02ME[/math] herstellen um maximalen Gewinn zu machen. Der Stückgewinn beträgt dann [math]g=19,8GE/ME[/math] und der Gewinn beträgt [math]G=139GE[/math][br][/*][/list][br][br][*] [/*]