Sie verkaufen auf einem Markt eine fair produzierte Tasche aus
recycelter Lastwagenplane. Ihre Kosten werden von folgender Funktion
beschrieben:
- Ähnliche Taschen werden auf dem Markt für 60€ angeboten. Berechnen Sie, ob Sie mit diesem Preis langfristig oder wenigstens kurzfristig überleben können.
- Ihre Taschen haben ein Alleinstellungsmerkmal: Sie haben einen Magnetverschluss entwickelt, der die Tasche nicht nur gut verschließt, sondern mit dem sie die Tasche auch an allen magnetischen Gegenständen bequem aufhängen können. Daher können sie – Dank der erfolgreichen Werbeaktion – einen Preis von 95€ verlangen. Berechnen sie, wie viel Taschen Sie herstellen müssen, damit Ihr Gewinn maximal ist, den Stückgewinn und den gesamten Gewinn.
Hier wird der Lösungsweg mit dem CAS (HP Prime) bechrieben
a. Berechnen des Betriebsoptimums
- Abspeichern der Kostenfunktion als k(x)
- Stückkosten abspeichern: k(x)/x eingeben und als sk(x) abspeichern. Den Term dokumentieren.
- Grenzkosten abspeichern: k'(x) eingeben und als k1(x) abspeichern. Den Term dokumentieren.
- Berechnen des Betriebsoptimums, also der Schnittstelle der Grenzkostenfunktion und der Stückkostenfunktion: Mathematischer Ansatz: CAS: solve(k1(x)=sk(x),x)
- Berechnen der Langfristigen Preisuntergrenze: CAS: k1(6.53)
- Berechnen des Betriebsminimums, also der Schnittstelle der variablen Stückkostenfunktion und der Grenzkostenfunktion: Dazu abspeichern der variablen Kosten: k(x)-k(0) eingeben und als vk(x) abspeichern. Dann variable Stückkosten abspeichern: vk(x)/x eingeben und als vsk(x) speichern, die beiden Terme dokumentieren.
Nun die Schnittstelle berechnen: Mathematischer Ansatz: CAS: solve(k1(x)=vsk(x),x)
- Berechnen der Kurzfristigen Preisuntergrenze: CAS: k1(5)
- Interpretation: Der Preis von 60€ liegt unterhalb der LPUG von , daher ist ein langfristiges Überleben ihres Betriebes nicht gesichert. Allerdings liegt der Preis deutlich über der , d.h. kurzfristig können Sie diese Marktsituation überstehen da nur ein Teil Ihrer Fixkosten nicht gedeckt sind.
b. Gefragt ist nun der Gewinn. Weil der Preis
der Ware höher ist als die langfristige Preisuntergrenze, machen Sie tatsächlich Gewinn. Wenn der Preis mit
vorgegeben ist, dann machen Sie den
maximalen Gewinn, wenn für Ihre Ausbringungsmenge
gilt:
(siehe
hier).
- Berechnen der günstigsten Ausbringungsmenge , für die gilt: CAS solve(95=k1(x),x) und .. Eine negative Warenmenge ist nicht im sinnvollen Definitionsbereich, also ist . Hier ist es immer richtig, den höheren Wert zu verwenden.
- Der Stückgewinn ist CAS: 95-sk(7.02)
- Dann ist der Gewinn:
- Interpretation: Sie müssen herstellen um maximalen Gewinn zu machen. Der Stückgewinn beträgt dann und der Gewinn beträgt
