Une application linéaire [math]\textcolor{red}{a}[/math] est définie par l'image [math]\textcolor{red}{A_1}[/math] et [math]\textcolor{red}{A_2}[/math] des deux vecteurs de la base canonique. On range les coordonnées de [math]\textcolor{red}{A_1}[/math] et [math]\textcolor{red}{A_2}[/math] dans les colonnes d'une matrice [math]A[/math], c'est la matrice de l'application linéaire. De même pour [math]\textcolor{green}{b}, \textcolor{green}{B_1}, \textcolor{green}{B_2}[/math] et [math]\textcolor{green}{B}[/math].[br][br]Ces deux applications ne sont pas forcément commutatives.

On peut modifier la position du vecteur [math]u[/math], combinaison linéaire de [math]{e_1}[/math] et [math]{e_2}[/math] et observer son image par les applications [math]\textcolor{red}{a}, \textcolor{green}{b}, ab[/math] et [math]ba[/math].