In een ideale omgeving zonder beperkende factoren groeit de bevolking aan op exponentiële wijze. Deze groei wordt echter ingeperkt door beschikbaarheid van voedsel, competitie voor bepaalde hulpmiddelen of door ziektes. Naarmate de competitie groter en groter wordt, terwijl er een schaarsheid is aan hulpmiddelen, botst deze populatie op een draagkrachtcapaciteit, waardoor de bevolkingsgroei stil komt te staan. [br][br]We formuleren daarom een model dat evenredig is met de grootte van de bestaande populatie, maar ook met de mate van ongebruikte capaciteit en dus rekening houdt met een draagkrachtvermogen.[br]Het [b]draagkrachtvermogen[/b] van een organisme in een regio is de maximale populatie van dat organisme dat deze regio-omgeving kan ondersteunen (“[i]carrying capacity[/i] i.e. the maximum population size M the ecosystem can sustain”). Dit draagkrachtvermogen is verschillend voor elke soort ("species") in een bepaalde habitat omdat elke soort verschillend voedsel, onderdak en sociale omstandigheden nodig heeft.

Dit model werd voor het eerst bestudeerd in [Verhulst, P.F., [i]Notice sur la loi que la population pursuit dans son acroissement[/i], Corresp. Math. Phys. 10:113-121, 1838] met als tijdgebaseerd model [br][math]y′(t)=a \cdot y(t) \cdot \left( 1−\dfrac{y(t)}{M} \right)[/math] waarbij [math]t[/math] de tijd voorstelt en [math]M[/math] het draagkrachtvermogen.[br]Dit model heeft als oplossing een zogenaamde logistische functie [math]y(t) = \dfrac{c M e^{at}}{1+c e^{at}} .[/math] met als grafiek een S-vorm.

[list][*]Indien de populatie klein is in vergelijking met het draagkrachtvermogen, dan is de uitdrukking [math]1−\dfrac{y}{M}[/math] praktisch gelijk aan 1,  zodat dit bij [math]a>0[/math] een exponentiële groei benadert.[/*][*]Wanneer de bevolking aangroeit, dan stijgt ook [math]\dfrac{y}{M}[/math]. Indien de populatie onder het draagkrachtvermogen valt, zal [math]1−\dfrac{y}{M}>0[/math], maar deze uitdrukking zal dalen, net zoals de rechterhandzijde van deze logistische diferentiaalvergelijking. Bijgevolg zal [math]y′[/math] dalen en zal de kromming van de oplossingsgrafiek negatief worden.[/*][*]Bij een populatie gelijk aan het draagkrachtvermogen, geldt [math]y′=0[/math] en blijft de populatie constant.[/*][*]Als de populatie groter is dan het draagkrachtvermogen, zal deze bevolking dalen en streven naar dit draagkrachtvermogen.[/*][/list]

Zie ook [url=https://www.geogebra.org/m/hsndukrz]Logistic model of population growth/decay van Przemysław Kajetanowicz.[/url][br]