Die Oberfläche einer Kugel

[i]Mit dieser Geogebra-Einheit sollst du verstehen, wie man die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel aus der Formel für das Volumen einer Kugel herleiten kann.[br][br]Die Ergebnisse deiner Beobachtungen notierst du am Ende auf dem Arbeitsblatt.[/i]

Aufgabe 1

Wiederhole noch einmal, denn diese Formel benötigst du für die Herleitung der Formel. Wie lautet die Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius r?

[math]V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3[/math] [math]V=4\cdot\pi\cdot r^2[/math] [math]V=4\cdot\pi\cdot r^3[/math] [math]V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^2[/math]

Aufgabe 2

[i]Mache dich mit der Animation vertraut. Du kannst die Kugel auch drehen und von allen Seiten betrachten. Untersuche, was passiert, wenn du die [color=#f1c232]Schieberegler betätigst[/color] oder [color=#f1c232]"Spur ein"[/color] beziehungsweise [color=#f1c232]"Spur aus" [/color]drückst. Beschreibe deine Beobachtung in Stichpunkten..[/i]

Aufgabe 3

Verstelle den schwarzen Schieberegler und die Oberfläche wird in mehr Teilflächen unterteilt. Damit werden immer mehr Pyramiden möglich. Man spricht dann von insgesamt n Pyramiden, die so erzeugt werden. Dabei steht n für eine beliebige große Anzahl.[br]Diese Pyramiden haben die Grundfläche G1 bzw. G2 bzw. G3 usw. Diese sind alle unterschiedlich.[br]Du kannst dann die allgemeine Bezeichnung Gn für die Grundfläche der n-ten Pyramide benutzen.[br][br]Mit welcher Formel berechnest du dann das Volumen z.B. der n-ten Pyramide in dieser Kugel mit dem Radius r?

[math]V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math] [math]V=\frac{1}{3}\cdot G_n\cdot h[/math] [math]V=\frac{1}{3}\cdot G_n\cdot r[/math]

Aufgabe 4

Das Volumen der Kugel besteht dann aus dem Volumen all dieser Pyramiden.[br][i](Drücke "Spur ein" und verstelle den roten und blauen Schieberegler, um die Pyramide zu verschieben und alle Pyramiden, die zusammen das Kugelvolumen bilden, sichtbar zu machen.)[br][br][/i]Mit welcher Formel lässt sich also auch das Volumen V der Kugel berechnen?

[math]V=\frac{1}{3}\cdot G_1\cdot h+\frac{1}{3}\cdot G_2\cdot h+\frac{1}{3}\cdot G_3\cdot h+...+\frac{1}{3}\cdot G_n\cdot h[/math] [math]V=n\cdot\left(\frac{1}{3}\cdot G\cdot r\right)[/math] [math]V=\frac{1}{3}\cdot G_1\cdot r+\frac{1}{3}\cdot G_2\cdot r+\frac{1}{3}\cdot G_3\cdot r+...+\frac{1}{3}\cdot G_n\cdot r[/math] [math]V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h+\frac{1}{3}\cdot G\cdot h+\frac{1}{3}\cdot G\cdot h+...+\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math]

Aufgabe 5

Begründe die Antwort in Aufgabe 4 kurz.

Aufgabe 6

Weil du die Formel einer Kugel bereits kennst (siehe Aufgabe 1), kannst du diese jetzt in die richtige Formel in Aufgabe 5 einsetzen.[br]Diese Gleichung kannst du noch umformen.[br][br]Welche der folgenden Gleichungen erhältst du dann?

[math]\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3=\frac{1}{3}\cdot r\cdot G_n[/math] [math]\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^2=\frac{1}{3}\cdot r\cdot\left(G_1+G_2+G_3+...+G_n\right)[/math] [math]\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3=\frac{1}{3}\cdot r\cdot\left(G_1+G_2+G_3+...+G_n\right)[/math]

Aufgabe 7

Erkläre kurz, wie in Aufgabe 6 umgeformt wurde.

Aufgabe 8

In der richtigen Formel in Aufgabe 6 ist auch schon die Oberfläche [br]enthalten. Welcher Teil der Gleichung entspricht der Oberfläche?[br]Nenne in eigenen Worten und erkläre kurz.

Aufgabe 9

Übertrage die bisherigen Lösungsansätze und Umformungen auf das Arbeitsblatt.[br]Ersetze dann in der richtigen Gleichung in Aufgabe 6 den Teil, der dem Oberflächeninhalt der Kugel entspricht durch die Variable O.[br][br]Anschließend forme die Gleichung nach O um und vereinfache. Du erhälst die Formel für den Oberflächeninhalt der Kugel.[br]Gratuliere, du hast es geschafft!