内接四角形と外接四角形

Bunryu Kamimura, Dec 24, 2015

円に内接する四角形と外接する四角形の間には双対的な関係が見つかります。 中学生にも発見できる定理です。 そうすると、円の不思議な世界が目前に広がってきます。

Table of Contents

  1. 内接四角形
    1. 内接四角形のしきつめ
    2. 内接四角形１
    3. 内接四角形2
    4. Brahmaguptaの定理
    5. 内接四角形３
    6. 内接四角形の対角線が直交するとき
    7. プトレミーの定理
    8. 垂心のはたらき
    9. 垂心の軌跡
  2. 外接四角（辺）形
    1. 内接四角形と外接四角形
    2. 外接四辺形の作図の仕方
    3. ニュートン外接四角形
    4. 森田の定理
    5. ミュラーの定理
  3. いろいろな定理
    1. 丸山良寛の問題
    2. 方べきの定理
    3. プトレミーの定理
    4. プトレミーの定理
    5. シムソン線
    6. クーリッジの定理
  4. ポンスレの定理
    1. ポンスレの問題
    2. ポンスレの問題　４角形の証明
    3. 2円に内接・外接する三角形の重心
    4. 二円に外接・内接する四角形の重心
  5. 応用問題
    1. センター試験数学ⅠA第５問

1.

内接四角形

円に内接する四角形は向かい合う角度の合計が等しい。 つまり、１８０度である。

  • 1. 内接四角形のしきつめ
  • 2. 内接四角形１
  • 3. 内接四角形2
  • 4. Brahmaguptaの定理
  • 5. 内接四角形３
  • 6. 内接四角形の対角線が直交するとき
  • 7. プトレミーの定理
  • 8. 垂心のはたらき
  • 9. 垂心の軌跡

1.1.

内接四角形のしきつめ

内接四角形のしきつめ
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

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1.8.

–

1.9.

–

2.

外接四角（辺）形

円に外接する四角形の対辺の和は等しい。 内接四角形は向かい合う角の和は等しい。 このような関係を双対といいます。 何か興味をひかれます。

  • 1. 内接四角形と外接四角形
  • 2. 外接四辺形の作図の仕方
  • 3. ニュートン外接四角形
  • 4. 森田の定理
  • 5. ミュラーの定理

2.1.

内接四角形と外接四角形

内接四角形の向かい合う角度の和は同じ。外接四角形の向かい合う辺の長さの和は同じ。
内接四角形の向かい合う角の和と外接四角形の向かい合う辺の和についての双対的な性質
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

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2.5.

–

3.

いろいろな定理

内接四角形に関するいろいろな定理

  • 1. 丸山良寛の問題
  • 2. 方べきの定理
  • 3. プトレミーの定理
  • 4. プトレミーの定理
  • 5. シムソン線
  • 6. クーリッジの定理

3.1.

丸山良寛の問題

– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

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4.

ポンスレの定理

【[b]内円に外接し、外円に内接する四角形を作図しよう。[/b]】 詳しくはポンスレの閉形問題へ [url]https://www.geogebra.org/m/XA7wm6PD[/url]

  • 1. ポンスレの問題
  • 2. ポンスレの問題　４角形の証明
  • 3. 2円に内接・外接する三角形の重心
  • 4. 二円に外接・内接する四角形の重心

4.1.

ポンスレの問題

内円に外接し外円に内接するには点Ｅをどうとればいいのだろうか？　まず三角形でやってみよう。三点を通る円は簡単に求まる。四角形の場合は、内接四角形であり外接四角形である四角形を作ればいい。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

応用問題

２０１６年度センター試験の問題。

  • 1. センター試験数学ⅠA第５問

5.1.

センター試験数学ⅠA第５問

四角形ABCDにおいて、AB=4、BC=2、DA＝DCであり、４つの頂点A,B,C,Dは同一円周上にある。 対角線ACと対角線BDの交点をE、線分BCを２：３に内分する点をF。直線FEと直線DCの交点をGとする。 ∠ABCの大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注目すると、 ∠DAC＝∠DCA=∠DBC＝∠（　　　　）。このことより、EC／AE＝（１／２）である。 次に△ACDと直線FEに着目すると、GC／DG=（１／３）である。 (１)直線ABが点Gを通る場合について考える。 　この時、△AGDの辺AG上に点Bがあるので、BG＝（３）である。 　また、直線ABと直線DCが点Gで交わり、４点ABCDは同一円周上にあるので、DC＝（２）√（７）である。 (２)四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。 　この時、四角形ABCDの外接円の直径は（４）であり、∠BAC＝（　　）°である。 　また、直線FEと直線ABの交点をHとするとき、 　GC／DG＝（　　　）／（　　　）の関係に着目してAHを求めると、AH=（２）である。

数値を求めるのは、メネラウスとチェバ、方べきの定理を用いる。 メネラウスの定理　[url]http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1733633#material/1741423[/url] チェバの定理[url]http://tube.geogebra.org/material/simple/id/1733623#material/1741489[/url] 方べきの定理[url]http://tube.geogebra.org/material/simple/id/2468043[/url]
– Bunryu Kamimura

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