[b][justify][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/color][br]Fala, estudante![/b] [/justify][justify][br]Nesta seção, vamos formalizar os resultados que você observou na investigação anterior. Ao analisar diferentes funções quadráticas, você percebeu que existe uma relação entre os coeficientes [math](a)[/math], [math](b)[/math] e [math](c)[/math] e as coordenadas do vértice da parábola.[br][br]Se suas conjecturas estavam corretas, você deve ter notado que essa relação não depende de exemplos específicos: ela é válida para [b]qualquer[/b] função quadrática. Assim, podemos sintetizar todas as observações feitas ao longo da investigação nas fórmulas a seguir.[/justify][br]Desse modo, considere a função quadrática[br][br][br][center][math]f(x)=ax^2+bx+c,[/math][/center]com [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math] [math]\in\mathbb{R}[/math] e [math]a\ne0[/math].[br][br][br][justify]Assim a abscissa do vértice é dada por [/justify][br][br][center][br][math]x_v=-\frac{b}{2a}[/math][/center][br]e a ordenada do vértice pode ser calculada por[br][br][center][br][math]y_v=f\left(-\frac{b}{2a}\right)[/math] ou [math]y_v=-\frac{\Delta}{4a}[/math], com [math]\Delta=b^2-4ac[/math][/center][br][br]Então, as coordenadas do vértice são dadas por[br][br][br][center][br][math]V=\left(x_{v,}y_v\right)=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)[/math][/center]ou[br][br][br][center][math]V=\left(x_{v,}y_v\right)=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)[/math][/center][br][br][/b][justify][b][color=#ff0000]EXEMPLO 1: [/color][color=#0000ff]Dada a função quadrática [/color][math]f(x)=1x^2-4x+3[/math][color=#0000ff], [/color][/b][color=#0000ff][b]determine as coordenadas do vértice da parábola.[br][br][br][/b][/color][b][i][color=#ff0000][u]RESOLUÇÃO: [/u][br][br][/color]1° PASSO:[color=#0000ff] Determinar os parâmetros [/color][math]a[/math][color=#0000ff], [/color][math]b[/math][color=#0000ff] e [/color][math]c[/math][color=#0000ff] da função [/color][math]f(x)=1x^2-4x+3[/math][color=#0000ff]. Sendo assim, temos:[br][br][/color][math]a=1[/math][color=#0000ff], [/color][math]b=-4[/math][color=#0000ff] e [/color][math]c=3[/math][/i][/b][/justify][br][i][b]2° PASSO: [color=#0000ff]Substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas do [/color][math]x_v[/math][color=#0000ff] e [/color][math]y_v[/math][color=#0000ff]. Logo temos que:[/color][br][br][br][br][/b][/i][center][i][b][color=#ff0000][br][/color][/b][/i][math]x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{\left(-4\right)}{2\left(1\right)}=\frac{4}{2}=2[/math][br][br][br][math]y_v=f\left(x_v\right)=f\left(2\right)=1\left(2\right)^2-4\left(2\right)+3=1\left(4\right)-8+3=4-8+3=-1[/math][/center][br][br][b][color=#ff0000]Portanto, as coordenadas do vértice é [/color][/b][math]V=(2,-1)[/math][b][color=#ff0000].[/color][/b][br][br][br][b][justify]Observe o gráfico no início da seção. Nele, o vértice da parábola é destacado, validando geometricamente o resultado obtido por meio dos cálculos analíticos demonstrados acima.[/justify][/b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/color][/b][br]
[b][justify][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/color][/b][/justify][br][/b][b][color=#ff0000]EXEMPLO 2: [/color][color=#0000ff]Dada a função quadrática [/color][math]f(x)=-1x^2+2x+3[/math][color=#0000ff], [/color][/b][color=#0000ff][b]determine as coordenadas do vértice da parábola.[br][br][br][/b][/color][b][i][color=#ff0000][u]RESOLUÇÃO: [/u][br][br][/color][justify]1° PASSO:[color=#0000ff] Determinar os parâmetros [/color][math]a[/math][color=#0000ff], [/color][math]b[/math][color=#0000ff] e [/color][math]c[/math][color=#0000ff] da função [/color][math]f(x)=-1x^2+2x+3[/math][color=#0000ff]. Sendo assim, temos:[/color][/justify][center][color=#0000ff][br][br][/color][math]a=-1[/math][color=#0000ff], [/color][math]b=2[/math][color=#0000ff] e [/color][math]c=3[/math][/center][/i][/b][br][br][i][b][justify]2° PASSO: [color=#0000ff]Substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas do [/color][math]x_v[/math][color=#0000ff] e [/color][math]y_v[/math][color=#0000ff]. Logo temos que:[/color][/justify][br][br][/b][/i][center][i][b][color=#ff0000][br][/color][/b][/i][math]x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1[/math][br][br][br][math]y_v=f\left(x_v\right)=f\left(1\right)=-1\left(1\right)^2+2\left(1\right)+3=-1\left(1\right)+2+3=-1+2+3=4[/math][/center][br][br][b][color=#ff0000]Portanto, as coordenadas do vértice é [/color][/b][math]V=(1,4)[/math][b][color=#ff0000].[/color][/b][br][br][br][b][justify]Observe o gráfico abaixo. Nele, o vértice da parábola é destacado, validando geometricamente o resultado obtido por meio dos cálculos analíticos demonstrados acima.[/justify][/b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/color][/b][br]
[justify][b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/color][/b][br][color=#ff0000]Agora é com você, estudante![br][/color][br]Chegou a hora de colocar seus conhecimentos em prática. Resolva os exercícios a seguir utilizando as fórmulas das coordenadas do vértice. Em seguida, sempre que possível, construa o gráfico de cada função no GeoGebra para verificar se o vértice obtido por meio dos cálculos coincide com o vértice da parábola representada graficamente.[br][br]Essa comparação entre os resultados algébricos e a representação gráfica é uma excelente forma de validar seus cálculos e aprofundar sua compreensão sobre as funções quadráticas.[/b][/justify]
[justify][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/color][/b][/b][br][br]DETERMINANDO O VÉRTICE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA[br][/color][br][/b][b]Para cada uma das funções quadráticas a seguir[/b][/justify][b][br][br][center][math]f(x)=+1x^2-6x+5[/math][br][br][math]f(x)=-2x^2+8x-3[/math][br][br][math]f(x)=+3x^2+6x-1[/math][br][br][math]f(x)=-1x^2-4x+12[/math][br][br][math]f(x)=+2x^2-4x-6[/math][br][/center]Faça o que se pede:[br][br][/b][justify][b][br][/b][b][color=#ff00ff][1][/color][color=#0000ff] Determine as coordenadas do vértice[br][br][/color][color=#ff00ff][2][/color][color=#0000ff] Indique se o vértice representa um ponto de máximo ou de mínimo, justificando sua resposta[br][br][/color][color=#ff00ff][3][/color][color=#0000ff] Construa o gráfico da função no GeoGebra, evidenciando o seu vértice;[br][br][/color][color=#ff00ff][4][/color][color=#0000ff] Compare o resultado obtido por meio dos cálculos com o gráfico e verifique se suas conclusões estão [/color][/b][b][color=#0000ff]corretas.[br][br][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/color][/b][/b][/color][/b][br][/color][b][color=#ff0000][/color][/b][/b][/justify][justify][b][b][color=#ff0000]Observação:[/color][/b][color=#0000ff] Resolva as atividades em seu [/color][b]Material de Estudos[/b][color=#0000ff] e, ao final, utilize o [/color][b]GeoGebra[/b][color=#0000ff] para verificar se os resultados obtidos estão corretos.[/color][/b][/justify][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/color][/b][/b][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS[br][br][/color][/b][justify][color=#0000ff][b]Resolva os problemas contextualizados abaixo referentes ao conceito de vértice de uma função quadrática.[/b][/color][/justify]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]LUCRO DE UMA LOJA[br][br][/color][color=#0000ff]Uma loja percebe que o lucro diário [/color][math]L(x)[/math][color=#0000ff], em reais, ao vender [/color][math]x[/math][color=#0000ff] unidades de um produto, é dado por:[br][br][br][center][math]L(x)=−2x^2+40x−120[/math][br][br][br][/center]Dadas essas observações, determine:[br][br][br]a) O número de unidades que maximiza o lucro;[br][br]b) O valor máximo do lucro;[br][br]c) A interpretação do vértice nesse contexto;[br][br][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/color][/b][br]LANÇAMENTO DE UM PROJÉTIL[br][br][/color][color=#0000ff]A altura [/color][math]h(t)[/math][color=#0000ff], em metros, de um projétil lançado é:[br][br][br][br][/color][center][color=#0000ff][br][/color][math]h(t)=−5t^2+20t+1[/math][/center][br][br][br][/b][justify][b][color=#ff0000][b][color=#0000ff]Dadas essas observações, determine:[br][/color][/b][br][/color][color=#0000ff][/color][/b][b][color=#0000ff]a) O instante em que o projétil atinge a altura máxima;[br][br]b) A altura máxima;[br][br]c) O significado físico do vértice.[/color][/b][/justify][justify][b][color=#0000ff][br][/color][/b][/justify][br]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br][br]PRODUÇÃO AGRÍCOLA[br][br][/color][justify][color=#0000ff]A produção [/color][math]P(x)[/math][color=#0000ff] de uma plantação depende da quantidade de fertilizante [/color][math]x[/math][color=#0000ff]:[/color][/justify][color=#0000ff][br][br][br][br][center][math]P(x)=−x^2+12x+7[/math][/center][/color][/b][b][color=#ff0000][b][color=#0000ff][br][br][br]Dadas essas observações, determine:[br][/color][/b][/color][/b][br][br][b][color=#0000ff]a) A quantidade de fertilizante que maximiza a produção;[br][br][/color][/b][b][color=#0000ff]b) A produção máxima;[br][br][/color][/b][b][color=#0000ff]c) O que acontece se o agricultor usar mais fertilizante do que o valor ótimo.[/color][/b][br][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b][/b][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][/b][/color][/b][br]ÁREA DE UM TERRENO[br][br][/color][justify][color=#0000ff][/color][color=#0000ff]A área [/color][math]A(x)[/math][color=#0000ff] de um terreno retangular depende de uma variável de ajuste [/color][math]x[/math][color=#0000ff]:[/color][color=#0000ff][/color][/justify][color=#0000ff][br][br][br][br][center][math]A(x)=−x^2+10x+24[/math][/center][/color][/b][b][color=#ff0000][b][color=#0000ff][br][br][br]Dadas essas observações, determine:[br][/color][/b][/color][/b][br][br][b][color=#0000ff]a) O valor de [math]x[/math] que maximiza a área;[br][br][/color][/b][b][color=#0000ff]b) A área máxima;[br][br][/color][/b][b][color=#0000ff]c) O significado geométrico do vértice;[br][br][br][/color][/b]
[b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/b][/color][/b][br][b][justify]PARA FINALIZAR, RESPONDA A SEGUINTE PERGUNTA:[/justify][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/b][/color][/b][br]TRAJETÓRIA PARABÓLICA[br][/color][color=#0000ff][br][justify]Ao observar a trajetória de uma bola após a cobrança de um tiro de meta em uma partida de futebol, percebe-se que seu movimento pode ser representado por uma parábola. [/justify][center][br][br][img]https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNkPjbKcrEo3WXFYjRP4y1S2P0-7sWi0eoPVfwnbExZ0gl0QtF7nmKcvyvlIOPsXjjnceWBM-EjgbncahBmyqU87MRhv8tC96O6Mk6HNryhATTZv6zPPO3lZyC944WiwFNTm6aYuDJPOx7/w640-h233/para4.png[/img][br][/center][br][br][justify]Nesse contexto, como a função quadrática pode ser utilizada para determinar a altura máxima atingida pela bola por meio da análise do vértice da parábola?[/justify][/color][/b][br][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b]
[b][color=#0000ff]A função quadrática permite encontrar a altura máxima da bola porque o vértice da parábola representa o ponto de maior altura da trajetória.[/color][/b]
[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[br][/b][/color][/b][br]ENCERRAMENTO DA SEÇÃO[/color][/b][br][br][justify][b]Nesta seção, você estudou como a função quadrática descreve situações reais e como o vértice da parábola representa pontos importantes, como valores máximos ou mínimos. Esse conceito é fundamental para interpretar problemas de otimização e compreender o comportamento de fenômenos modelados por esse tipo de função.[br][br]Agora é o momento de consolidar o que foi aprendido em todo o e-book. Na próxima etapa, você encontrará uma seção composta exclusivamente por exercícios, que funcionam como uma avaliação final de todos os conceitos estudados até aqui. Resolva com atenção e de forma autônoma, pois isso permitirá verificar seu nível de compreensão e identificar possíveis pontos que ainda precisam de reforço.[br][br]Bons estudos![/b][/justify][br][b][color=#ff0000][b][br][/b][/color][/b]