3° AÑO SECUNDARIA
Table of Contents
- Medicion de angulos
- Sistema Circular
- Sistema Circular
- Teoremas trigonometricos
- Teorema del seno y del coseno
- Teorema del seno
- Angulos de igual seno
- Angulos de igual coseno
- Teorema del coseno, demostración visual para triángulos acutángulos
- Trigonometria
- Sistema Sexagesimal
- RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULO COMPLEMENTARIO
- Relaciones Trigonométricas
- Ecuaciones e inecuaciones
- Desigualdades 1
- Sistema de ecuaciones
- Sistemas de Ecuaciones Lineales por Método Gráfico
Sistema Circular
En este applet encontrarás las bases del sistema de medición de ángulos [b][color=#ff00ff]circular[/color][/b].[br]Puedes elegir el radio de la circunferencia con centro en [b]O,[/b] cambiando su valor desde la casilla de control [color=#ff00ff][b]Radio[/b][/color]. También con la herramienta [color=#ff7700][b]Mueve[/b] [/color]seleccionada, podrás trasladar el [b][color=#0000ff]P[/color][/b][color=#0000ff][b]unto B[/b][/color] para armar el ángulo que desees.[br]La intersección entre esta circunferencia y el ángulo [math]\angle AOB[/math] es el arco de circunferencia [math]AB[/math].[br]Es posible observar que para un ángulo fijo, el valor del cociente entre la [b][color=#ff0000]Longitud del arco[/color][/b] [math]AB[/math] y el valor del [color=#ff00ff][b]Radio[/b][/color] no cambia. Es decir que el valor del cociente no depende del radio elegido, sólo depende del ángulo. Este hecho nos permite [b][color=#00ff00]representar a cada ángulo con el número real que resulta de dicho cociente[/color][/b]. Su unidad de medida es el [b]radián[/b].
El siguiente applet te servirá para responder la pregunta [b][color=#ff00ff]¿Qué es un 1 radian?[/color][/b]
Teorema del seno y del coseno
Introducción
[justify]El teorema del seno y el teorema del coseno son dos resultados que establecen las relaciones entre los ángulos interiores de cualquier triángulo con el seno y coseno de los lados opuestos a los ángulos. [br][br]Su aplicación permite conocer los ángulos o los lados del triángulo sin conocerlos todos. [br][br]A continuación, enunciamos ambos teoremas y daremos un ejemplo de aplicación. [/justify]
1. Teorema del seno
Sea un triángulo cualquiera con lados [math]a[/math], [math]b[/math] y [math]c[/math] y con ángulos interiores opuestos [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math] y [math]\gamma[/math], respectivamente, entonces [br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/TSIN1.png[/img][/url][br][br]Además, si el triángulo está inscrito en una circunferencia de diámetro D, [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-2.png[/img][br][br][br]Enlace: [url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html]Problemas de aplicación del [b]Teorema del seno[br][/b][/url]
2. Teorema del coseno
Dado el triángulo del resultado anterior, el teorema del coseno establece que[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOS1.png[/img][/url][br][br]Enlace: [url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html]Problemas de aplicación del [b]Teorema del seno[/b][/url]
3. Ejemplos de aplicación
[b]Problema 1[br][br][/b]Calcular el ángulo [math]\gamma[/math] del siguiente triángulo de lados [math]a=6cm[/math], [math]b=8cm[/math] y [math]c=12cm[/math]:[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP3.png[/img][/url][br][br][u]Solución: [br][br][/u]Aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP2-1.png[/img][br][br]Sólo tenemos que sustituir los datos y aislar el ángulo [math]\gamma[/math]:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/TCOSP3-2.png[/img][br][br][b]Problema 2[br][br][/b]Calcular el radio y el diámetro de la circunferencia en la que está inscrita el siguiente triángulo del que sólo se conoce el ángulo [math]\alpha=38º[/math]:[br][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4.png[/img][/url][br][br][u]Solución:[br][br][/u]El teorema del seno proporciona el diámetro D:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-1.png[/img][br][br]Conociendo ángulo [math]\alpha[/math] y su lado opuesto, [math]a[/math], podemos calcular el diámetro: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-2.png[/img][br][br]Sustituimos los datos: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-3.png[/img][br][br]Luego el diámetro mide [br][br][img]https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/SINP4-4.png[/img]
4. Fuentes
[list][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html]Teorema del seno (con problemas)[/url][br][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html]Teorema del coseno (con problemas)[/url][br][url=https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/identidades/identidades-trigonometricas-demostraciones-ejemplos.html]Identidades trigonométricas[/url][br][/list]
Sistema Sexagesimal
En este applet encontrarás las bases del sistema de medición de ángulos [b][color=#ff00ff]sexagesimal[/color][/b].[br]Si apretas el botón [color=#9900ff][b]Iniciar[/b] [/color]observarás como el ángulo de un giro se divide en 360 ángulos iguales. Cada un de ellos es un ángulo de 1°.[br]Con el botón [b][color=#9900ff]Detener[/color][/b] podes parar la construcción, y con el botón [b][color=#9900ff]Reiniciar[/color][/b] volverás al inicio de la construcción.[br]También podes mostrar/ocultar el valor del [color=#ff0000][b]ángulo [/b][/color][math]\beta[/math] tildando o destildando la casilla de control [i]Mostrar valor de [math]\beta[/math][/i]. Podes cambiar la cantidad de decimales del redondeo desde la configuración de la hoja de trabajo.[br]También con la herramienta [color=#ff7700][b]Mueve[/b] [/color]seleccionada, podrás trasladar el [b][color=#0000ff]P[/color][/b][color=#0000ff][b]unto B[/b][/color] para armar el ángulo que desees.[br]Podes encontrar más información sobre este sistema en [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal]Sistema Sexagesimal[/url].
Desigualdades 1
Esta aplicación permite practicar la tarea de resolver una desigualdad de primer grado y muestra la representación gráfica del conjunto solución.
El botón "Otro" genera un nuevo ejercicio.[br]El botón "Paso" muestra, paso a paso, el procedimiento de solución de la desigualdad y al final la representación gráfica del conjunto solución.
Sistemas de Ecuaciones Lineales por Método Gráfico
A continuación, tienes un applet que te permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico.[br][br]Recuerda que para graficar una ecuación lineal con dos incógnitas, es igual que las funciones lineales, debes hacer una tabla para registrar mínimo dos puntos [b] (x,y) [/b], es decir, asignas un valor a la [b] x [/b], para obtener el valor de [b] y [/b] (o viceversa) al resolver la ecuación cumpliendo con la igualdad. Después, al unir los puntos con una recta tienes el gráfico de una ecuación lineal con dos incógnitas. Debes volver a repetir el proceso con la otra ecuación lineal con dos incógnitas.[br][Comprueba tus resultados con las tablas, al cambiar los valores a la [b]x[/b] por los que utilizaste, para comprobar el valor de la [b]y[/b] ][br][br]Encuentra la solución de los sistemas de ecuaciones entregados por el profesor, utilizando el applet, para luego responder las preguntas.[br][br]Mueve los parámetros [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b], [b]d[/b],[b]e[/b] y [b]f[/b] (barras) para obtener las ecuaciones lineales con dos incógnitas, de cada sistema de ecuaciones lineales.[br][br]La solución del sistema de ecuaciones lineales es el punto donde se cortan ambas rectas. [br][br]Tips: Fíjate que las ecuaciones estén de la misma forma que se presentan aquí (cuadro verde), sino es así, utiliza el álgebra para escribirla de esa forma.
De la listas de sistemas de ecuaciones entregada por el profesor:[br]¿En cuáles sistemas de ecuaciones lineales hay solución? ¿Qué tienen en común estos gráficos?[br][br]¿En cuáles sistemas de ecuaciones lineales no hay solución? ¿Qué tienen en común estos gráficos?[br][br]¿En cuáles sistemas de ecuaciones lineales hay infinitas solución? ¿Qué tienen en común estos gráficos?[br][br]Escribe una conclusión (en tus apuntes) en relación a lo observado con las soluciones gráficas de los sistemas de ecuaciones lineales.