Version für "beliebige" n - vorbelegt X=x1,x2....x9.[br](Grundlagen und Beispiel [url=https://ggbm.at/xbxb3ztb]Diagonalisieren - Jordan-Normalform[/url][math]\nearrow[/math])[br][br]Die Kriterien zur Diagonalisierbarkeit sind[br][list=1][*]Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren [/*][*]Die Dimensionen der Eigenräume entsprechen den algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte[/*][/list]Für die Eigenwerte λ[sub]k[/sub] einer n ×n-Matrix A gilt[br][center][math]\large \sum \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k}=\operatorname{Spur} A, \quad \prod \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k}=\operatorname{det} A[/math][br][/center]wobei mehrfache Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit gezählt werden.[br]Die Zusammenhänge könne unter anderem zur Kontrolle bei Eigenwertberechnungen verwendet werden.[br][br]Im Applet wird nur der Fall [i][b]algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit[/b][/i] behandelt. [br]Die Suche nach einem Hauptvektor im anderen Fall kann mit ergänzenden Schritten umgesetzt werden. Im PDF-Artikel (ggb im PDF-Anhang) sind einige Beispiele dokumentiert. Ich hab nicht versucht die Suche nach dem Hauptvektor zu automatisieren - es sind Eingriffe von Hand notwendig - es sieht auch nicht danach aus, dass dieser Schritt in GGB (alle möglichen Fallunterscheidungen) umgesetzt werden könnte.[br][br](4)(5)(6)(7) Charakteristisches Polynom [sub]Det[/sub]| A-λE | = 0 [br][color=#666666][size=85]Falls die Online Version eine undefinierte Variable E findet ===> Zeile (4) neu berechnen[/size][/color][br](7) Eigenwerte:= [color=#0000ff][size=85]Eine Liste λ[sub]i[/sub] der Eigenwerte[/size][/color][br](8) DimEigenraum:= [color=#0000ff][size=85]Eine Liste n-MatrixRang (A-λ[sub]i[/sub]E) = Dimension des Eigenraumes zu λ[sub]i[/sub] (Anzahl der Eigenvektoren)[/size][/color] [br](10) Die Matrixgleichungen (A-λ[sub]i[/sub]E)=0[br](12) LGλ[sub]i[/sub] [color=#0000ff] [size=85]Lineare Gleichungssysteme zu (8) λ[sub]i[/sub] zeilenweise[/size][/color] [br](13) Aλ[sub]i[/sub] [color=#0000ff][size=85]Löse LGλ[sub]i[/sub] zeilenweise[/size][/color] [br](14) Matrixgleichungen Zeilenstufenform[br](16) Stelle fest welche freien Variablen zur Anwendung kommen[br](18) Eigenvektoren in Spalten mit unbestimmten Variablen der LGS LGλ[sub]i[/sub] [br](20) Eigenvektoren EV[sub]i[/sub] entsprechend der Reihenfolge der Eigenwerte λ[sub]i[/sub] zeilenweise [br](21) Zusammensetzen der EV zur Matrix T[br](22) Bestätigung der Diagonalisierung T[sup]-1[/sup] A T = diag( λ[sub]i[/sub] )[br](23) ggb-Command: JordanDiagonalization(A)[br](24..29) ggb-Commanda: CharacteristicPolynomial, MinimalPolynomial[br](27) Minimalpolynom: Stelle händisch Faktoren (A-λ[sub]i[/sub] E) zusammen deren Produkt die Nullmatrix ergeben[br](31) CharacteristicPolynom im Fall n=2[br] [math]\mathbb{\large{\chi}}_{A^{2\times 2}}(\lambda) = \lambda^{2} - \sum_{j=1}^{n} A_{ j\, j} \; \lambda + Determinant \left(A \right) [/math]
[size=150]Beispiele[/size][br][size=85]A:={{1, 1, 0 , 0},{1 , 1 ,-2 , 0 },{0 , 0 , 1 , -3 },{0, 0 , 0 , 7}}[br]A:={{0, 0, 0, 3}, {1, 1, 0,-1}, {0, 0, 2, 0},{1, -1, 0, 1}}[br]A:={{5, 0, 1 , -1},{0 , -3 , 0 ,0 },{0 , 0 , 4 , -4 },{ 1, 1 , 1 , 0}}[br]A:={{0, 0, 0 , 1},{1 , 0 ,0 , 0 },{0 , 1 , 0 , 0 },{ 0, 0 , 1 , 0}}[br]A:={{1, 1, 0 , 0},{1 , 1 ,-2 , 0 },{0 , 0 , 1 , -3 },{0, 0 , 0 , 7}}[br]A:={{2, -3, 1}, {3, 1, 3},{-5, 2, -4}}[br]A:={{-2, 5, 3}, {0, 2, 0}, {-4, 5, 5}}[br]A:={{0, -2, 1}, {2, -1, -1}, {-2, -2, 3}}[br]A:={{-1, 3, -2}, {2, 6, -5}, {2, 8, -7}}[br]A:={{0, 2},{2 , 3 }}[br]A:={{3, 2},{2 , 6}}[/size][br][br][size=150]Elementarmatrizen:[/size][br][br]Zeilen/Spalten-Operationen [br]Ex(zle,spl,k_f):=Sequence(Sequence(Element(Identity(n), zz,ss)-1*(zle==spl && zle==zz && spl==ss)*1+If(zz==zle && ss==spl,k_f,0),ss,1,n),zz,1,n);[icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][br]Ex(a,b,c) A:[size=85] Addiere c*Zeile b zu Zeile a (Zeile a + c*Zeile b) ===> Multiplikation von Links[/size][br]A Ex(a,b,c): [size=85]Addiere c*Spalte a zu Spalte b ===> Multiplikation von Rechts[/size][br][br]Zeilen/Spaltentausch[br]Tx(zz,ss):=Sequence(Element(Identity(n), If(kk≠zz ∧ kk≠ss,kk,If(kk=zz,Max(zz,ss),Min(zz,ss)))),kk,1,n); [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][br]
Ergänzungen zur Hauptvektorsuche (Add Cells)[br][br](16) HVi=2[color=#0000ff]; [br][size=85]der auf Hauptvektoren zu untersuchende EW(HVi)[/size][/color][br](17) N:=3; [br][color=#0000ff][size=85]Potenz (A- λ E)^N um für den Eigenraum genügend Kandidaten (21), entsprechend alg. Vielfachheit von [color=#0000ff][size=85]λ[/size][/color], zu erzeugen[/size][/color][br](19) LGHV1:=(A - EW(HVi) E)^N [br](20) LHV1:=Solutions(LGHV1 X,X)[br](21) HVKandidaten1u:=Transpose(If(LHV1 ≠ {},Substitute(Sequence(If(Element(LHV1,1,j) == Element(X,j),Flatten(Substitute(LHV1,Element(X,j) = 1)),0),j,1,n) \ {0},X = X0),{}))[br][size=85][color=#0000ff]Auswertung der Lösung LHV1 mit Darstellung der HV in Spalten der Matrix[/color][/size][br](22) KernHV1:=(A - EW(HVi) E)^(N - 1) HVKandidaten1u [color=#0000ff] [br][size=85]N>2: Kandidaten 1. Stufe prüfen - HV dürfen keine [color=#0000ff]{0} Vektorspalte[/color] in KernHV1 haben[/size] [/color][br](23) u:=4[br][size=85][color=#0000ff]Ausgewählte Spalte von HVKandidaten1u ==> HV-Folge (Jordanblock) über die ausgewählte Spalte u [/color][/size][br](24) HV1u2:=(A - EW(HVi) E) HVKandidaten1u [br](25) HV1u1:=(A - EW(HVi) E) HV1u2[br][size=85][color=#0000ff][color=#0000ff]u1=HV1u1(u)[/color], [color=#0000ff]u2=HV1u2(u),[/color] u3=HVKandidaten1u(u) - die HVs müssen eine Basis ergeben[/color][/size][br](26) T:= Transpose(Join(Take(EVi,1,2),{HV1u1(u),HV1u2(u),HVKandidaten1u(u)} ) )[br][size=85][color=#0000ff]Take EVs and Append HVs - in diesem Fall werden die ersten zwei EVs und die HVs aus Spalte 4 der ersten HV-Stufe ausgewählt[/color][/size] [br]
A:={{2,1,0 ,0},{0 , 1 , 0 ,1 },{0,0,3,0},{0 ,-2, 0 , 4 }}