[url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/RGpQt8zC]Korábban láttuk[/url], hogy ha egy H-háromszög oldalfelező merőlegesei közül valamely kettő metsző, akkor bármely kettő metsző, és metszéspontjuk közös. [br][url=https://www.geogebra.org/m/SCxpYxpk]Azt is láttuk,[/url] hogy ha két egyenes ugyanarra a harmadikra merőleges, akkor erre az egyenesre az egymásra vonatkozó tükörképeik is merőlegesek.[br][br]Miután [url=https://www.geogebra.org/m/EM8q39y4]megismertük annak az eljárásnak a használatát,[/url] amely két ultrapárhuzamos egyeneshez megadja a közös normálisukat, kimondhatjuk, hogy bármely két egyenesnek - az ultrapárhuzamosaknak is - meg tudjuk szerkeszteni a tükörtengelyét. (Az aszimptotikusan párhuzamos egyenesek tükörtengelyének a megszerkesztéséhez használható a [b]HSzögfelező()[/b] eljárás.)[br][br]Ezeknek az eszközöknek a birtokában válaszolni tudunk arra a kérdésre, hogy ha a háromszög három oldalfelező merőlegese - vagy magasságegyenese - nem metsző, akkor milyen kapcsolat van közöttük.[br][br]Fogalmazzunk általánosabban:[br][b][color=#ff0000]A hipebolikus geometriában három pontra vagy egy kör, vagy egy egyenes, vagy egy paraciklus , vagy egy hiperciklus illeszkedik.[/color][/b]

[color=#333333]Ismereteink összefoglalásaként vezessünk be néhány abszolút geometriai, ill. hiperbolikus geometriai fogalmat.[br][br][/color]Legyen S a sík egyenesei halmazának egy olyan [u]végtelen sok egyenesből álló valódi részhalmaza[/u], amelynek bármely két [b][i] a[/i][/b] és[b][i] b[/i][/b] eleme rendelkezik az alábbi tulajdonsággal:[list=1][*][color=#9900ff][b] az [i]a[/i]-nak [i]b[/i]-re vonatkozó, és [i]b[/i]-nek [i]a[/i]-ra vonatkozó tükörképe is eleme az[i] S[/i] halmaznak;[/b][/color][/*][*][color=#9900ff][b] az [i]a[/i] és [i]b[/i] egyenesek tükörtengelye is eleme[i] S[/i]-nek. [/b][/color][/*][/list][color=#9900ff][b]  Az S halmazt a sík egy [i]sugársorának[/i] nevezzük.[br][/b][/color][br][color=#333333]Mivel az euklideszi geometriában két egyenes vagy metsző, vagy párhuzamos, kimondhatjuk, hogy [br][/color][list][*][b][color=#0000ff]az euklideszi geometriában kétféle sugársor van: az egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza - ez a[i] centrális sugársor[/i] - valamint az egymással párhuzamos egyenesek halmaza a [i]párhuzamos sugársor[/i].[br][br][/color][/b][/*][*][b][color=#ff0000]a hiperbolikus geometriában[/color] [/b][color=#333333]két egyenes három lehetséges kölcsönös helyzetéből adódóan[/color][b][color=#333333] [/color][color=#ff0000] a [/color][i][color=#ff0000]centrális sugársor[/color][/i][color=#ff0000] az egy pontra illeszkedő egyenesek halmaza, [/color][i][color=#ff0000]egyirányú sugársor[/color][/i][color=#ff0000] az azonos végtelen távoli pontra illeszkedő, egymással aszimptotikusan párhuzamos (egyirányú) egyenesek halmaza, és [b][color=#ff0000] [/color][i][color=#ff0000]ultrapárhuzamos sugársor[/color][/i][/b] az egymáshoz képest ultrapárhuzamos, de közös normálissal rendelkező egyenesek halmaza az[/color][i][color=#ff0000]. [/color][/i][/b][br][/*][/list][color=#333333]Az egyenesek közös véges, vagy végtelen távoli pontját, ill. a közös normálisukat a [/color][color=#9900ff][i][b]sugársor tartójának[/b][/i] [/color][color=#333333]nevezzük.[br][list][*][color=#333333] [/color][b][color=#ff0000]A hiperbolikus geometriában a sugársor tartóját [u]egyértelműen[/u] meghatározza két egyenese[/color][color=#333333], [/color][color=#0000ff]az euklideszi geometria párhuzamos sugársorának a tartója a sugársor elemeire merőleges [u]bármely[/u] egyenes lehet.[/color][br][/b][/*][/list][/color][color=#333333]Azért kellett kikötnünk, hogy az [i][b]S[/b][/i] halmaz végtelen sok egyenesből álljon, ugyanakkor legyen a síknak [i][b]S[/b]-[/i]hez nem tartozó egyenese is, mert pl. három, egymással páronként 60°-os szöget bezáró egyenes is teljesítené az 1. é s 2. feltételt, másrészt a sík összes egyeneséből álló halmazra ugyancsak teljesülne az 1. és 2. feltétel is.[br][/color][color=#333333][br]A sugársor fogalmát bevezetve - a fenti applet eredményei alapján - kimondhatjuk, hogy:[br][/color][list][*][b][color=#9900ff] a háromszög három oldalfelező merőlegese ugyanannak a sugársornak a három eleme; [/color][/b][/*][/list][list][*][b][color=#0000ff]az euklideszi geometriában ez a sugársor centrális;[/color][/b][color=#333333][br][/color][/*][/list][list][*][color=#ff0000][b]a hiperbolikus geometriában ez a sugársor lehet centrális, egyirányú, vagy ultrapárhuzamos.[/b][/color][/*][/list][color=#333333]Ugyanezt ugyanígy kimondhatjuk a háromszög három magasságegyenesére is.[br][br][/color][color=#333333]Megfogalmazhatjuk az alábbi - ugyancsak abszolút geometriai- definíciót is: [/color][list][*][color=#9900ff][b]A sík egy adott[/b][i] P [/i][b]pontját tükrözzük az [/b][i]S[/i][b] sugársor minden egyenesére. Az így kapott tükörképek mértani helyét nevezzük az [/b][i]S[/i][b] sugársorhoz és a [/b]P[b] ponthoz tartozó [/b][i][b]ciklusnak[/b][/i][b].[br][/b][/color][b][color=#9900ff][br][/color][/b][/*][/list][color=#333333]A fenti definícióból következik, hogy[/color][br][list][*] e[b][color=#9900ff]gy adott sugársorhoz tartozó bármely ciklusnak a sugársor bármely elemére vonatkozó tükörképe önmaga, vagyis a sugársor elemeire vonatkozó tengelyes tükrözésre nézve [i]invariáns.[/i][/color][/b][i] [/i][br][/*][/list][list][*][b][color=#9900ff]A sugársor minden egyenese [u]merőleges[/u] a sugársor minden ciklusára.[/color][/b][/*][/list][list][*][b][color=#0000ff]Az euklideszi geometriában a centrális sugársorhoz tartozó ciklus [i]kör[/i], a párhuzamos sugársorhoz tartozó ciklus egy a sugársor minden egyenesére merőleges [i]egyenes.[/i][/color][/b][color=#333333][br][br][/color][/*][*][b][color=#ff0000]A hiperbolikus geometriában a centrális sugársorhoz tartozó ciklus [i]kör,[/i] az egyirányú ciklushoz tartozó ciklus [i]paraciklus[/i], az ultrapárhuzamos sugársorhoz tartozó ciklus[i] hiperciklus.[/i][/color][/b][/*][/list]

[br]Nyilvánvaló, hogy egy sugársornak, vagy a hozzá tartozó ciklusok halmazának nem tudjuk az összes elemét megrajzolni, ezért az alábbi appletben bevezetünk egy távolságegységet. Ahol tehetjük a sugársornak ill. ciklusok halmazának az így kapott egész számokat megjelenítő pontokra illesztett elemeit rajzoljuk meg.[br][br]A távolságegységet megjelenítő egységnyi szakaszt a P-modell alapkörén kívül helyeztük el. Így a zoomolás ( a rajzlap, így az alapkör) képernyőhöz viszonyított növelésével a távolságegység látszólag - vagyis a képernyőn - nem változik, az alapkörhöz viszonyítva természetesen egyre kisebb. [br][br]Tekintettel arra, hogy az applet elég sok (háttérben zajló) számolást igényel, és a ezeket a számításokat a rajzlap nagyítás, kicsinyítése s közben újra és újra el kell végezni, ezért az applet tartalmaz két Zoom nevű gombot, amelyek a rajzlap nagyobb léptékű nagyítását ill. kicsinyítését teszik lehetővé, mint ha ezt az egér görgőjével végeznénk. Ezzel valamelyest csökkenthető a z új rajz elkészítésének az ideje.

Reméljük, hogy azok az olvasóink, akik eddig eljutottak, nem igénylik, hogy a fenti applet működését részletezzük. Azonban felhívjuk a figyelmüket, hogy a távolságegység megadását kitettük a P- modellből. Így a zoomolás ( a rajzlap, így az alapkör) képernyőhöz viszonyított növelésével a távolságegység látszólag nem változik, az alapkörhöz viszonyítva természetesen igen.[br][br]Ahhoz, hogy elképzeljük az alapkör képernyőnkhöz viszonyított méretét, felírtuk, hogy az alapkör sugara hányszorosa a képernyőn rögzített - mondjuk 1 cm-es - szakasznak. Ezt a „fogást” a következő munkalapon is alkalmazni fogjuk.[br][br]Figyeljük meg, hogy elég nagy alapkör esetén a lerajzolt H-egyenesek (körívek) egyre kisebb része kerül a képernyőre, és ezek egyre inkább egyenes vonalnak tűnnek. [br][br]Megjegyezzük még, hogy a fenti applet - különösen zoomolás közben - sok (háttér) számolást igényel, ezért lelassulhat. Emiatt célszerű az appletet saját gépre menteni, és offline üzemmódban futtatni.