Teoremas análisis
Tenemos que practicar con los teoremas. Para que queden claros encontraréis ejemplos de todos.
Table of Contents
- Teoremas que exigen continuidad
- Teorema de Bolzano (I)
- Teorema de Bolzano (II)
- Teorema de Weierstrass
- Teoremas que exigen continuidad y derivabilidad
- Teorema de Rolle
- Teorema de Lagrange
- Teorema de Cauchy
- Aplicaciones de los teoremas
- Método Bisección
Teorema de Bolzano (I)
Teoremas
El teorema de Bolzano dice lo siguiente:[br]Sea [math]f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}[/math] una función continua en el intervalo [a,b] y que toma valores de diferente signo en a y b, es decir [math]f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0[/math], entonces [math]\exists c\in\left(a,b\right)[/math] tal que [math]f\left(c\right)=0[/math][br]Esto quiere decir que basta que la función sea continua y que en los extremos la función sea de diferente signo, para que podamos afirma que existe un punto intermedio en el que la función se anula. Recordar que en un teorema hay unas hipótesis y una tesis, y que las tesis se cumplen si se cumplen las hipótesis, y si no se cumplen, no podemos afirmar nada
Propuesta de trabajo
- Usarlo como base de la explicación[br]- Mover los puntos para comprobar como siempre que se cumplan las hipótesis, se cumple la tesis[br]- Proponer una situación en la que no se cumpla
Teorema de Rolle
Teoremas
Sea [math]f\left(x\right):\left[a,b\right]\longrightarrow\mathbb{R}[/math], continua en [a,b] y derivable en (a,b). Además se cumple que f(a)=f(b). En ese caso podemos afirmar que [math]\exists\in c\in\left(a,b\right)[/math]tal que [math]f'\left(c\right)=0[/math][br]Es decir, con las condiciones dadas el o los puntos que cumplen, tiene derivada 0, por tanto su tangente es horizontal y como consecuencia pueden ser extremos relativos
Método Bisección
Aplicación de teorema de Bolzano
El método consiste resolver la ecuación [math]f\left(x\right)=0[/math], para ello definimos un intervalo [math]\left[a,b\right][/math], donde se verifique el Teorema de Bolzano, en cuyo caso podemos afirmar que en un punto intermedio se anula la función[br]A continuación tomamos el punto medio [math]m[/math] y construimos el intervalo [math]\left(a,m\right)[/math] ó [math]\left(m,b\right)[/math], cogemos el que vuelva a verificar Bolzano y volvemos a empezar. Aplicamos el algoritmo tantas veces como queramos e iremos acercándonos cada vez más al valor del cero. Nos podemos detener en un nº predeterminado de veces de aplicación, o cuando la diferencia entre un valor y el anterior sea tan pequeño como hayamos decidido al principio[br]En este ejemplo lo hemos aplicado unas pocas veces y se puede comprobar como al final el valor de la función se va aproximando a 0[br]
Propuesta de trabajo
- Se puede mostrar como explicación[br]- Que calculen los dos primeros valores y comprobar[br]- Proponer otras situaciones