Dati una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]P=\left(x,f\left(x\right)\right)[/math] appartenente ad essa, se incrementiamo la posizione di [math]x[/math] di una quantità [math]\Delta x[/math], otteniamo il punto corrispondente [math]Q=\left(x+\Delta x,f\left(x+\Delta x\right)\right)[/math] appartenente al grafico della funzione.[br][br]Per ogni incremento [math]\Delta x[/math] della variabile indipendente, l'incremento corrispondente della variabile dipendente è [math]\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)[/math].[br][br][math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}[/math] è il rapporto incrementale della funzione, ed è uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo che la retta [math]PQ[/math] forma con il semiasse positivo delle ascisse (ovvero la pendenza della retta).[br][br]La derivata della funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] nel punto [math]x[/math] è definita come il limite per [math]\Delta x\rightarrow0[/math] del rapporto incrementale.[br][br]Ma quando l'incremento [math]\Delta x[/math] tende a 0, la retta [math]PQ[/math] tende alla retta tangente al grafico della funzione in [math]x[/math], e quindi [i][color=#1e84cc]la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente[/color][/i] al grafico della funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] in tale punto.

Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math], differenziabile in un punto [math]x[/math], il differenziale della funzione relativo al punto [math]x[/math] è definito come [math]dy=f'\left(x\right)\cdot dx[/math], cioè è il prodotto della derivata della funzione nel punto per l'incremento infinitesimo della variabile indipendente.[br][br]Per questa definizione utilizziamo la notazione [math]dx[/math] invece di [math]\Delta x[/math] per denotare un incremento infinitesimo. [br]Se vuoi scoprire di più sulla storia di questa notazione, puoi partire da [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz%27s_notation]qui[/url] (in Inglese, perchè la descrizione è molto più ricca che nella versione italiana).[br][br]Il [i][color=#1e84cc]differenziale [/color][/i]è la misura [math]dy[/math] dell'[i][color=#1e84cc]incremento dell'ordinata del punto[/color][/i] corrispondente all'incremento infinitesimo [math]dx[/math] dell'ascissa del punto, [i][color=#1e84cc]misurato sulla tangente[/color][/i] al grafico della funzione.[br][br]