Taller Geogebra: Pendiente de la recta tangente

¿Cómo escribir la ecuación explícita de la recta tangente a una función en un punto?

[size=100][size=150]La ecuación punto pendiente de una recta de pendiente [math]m[/math] que pasa por el punto [math]\left(x_0,y_0\right)[/math] es:[br][br][math]m=\frac{y-y_0}{x-x_0}[/math][br][br]Si despejamos la variable dependiente [math]y[/math] para obtener la forma explícita, nos queda:[br][br][math]y=m\left(x-x_0\right)+y_0[/math][br][br]Por la interpretación geométrica de la derivada, sabemos que la pendiente de la recta tangente a una función [math]f\left(x\right)[/math] en [math]x_0[/math] coincide con el valor de la derivada de la función en [math]x_0[/math]. Es decir:[br][br][math]m=f'\left(x_0\right)[/math][br][/size][/size][br][size=100][size=150]La imagen de la recta tangente coincide con la imagen de la función en[/size][/size] [math]x_0[/math]. [size=100][size=150]Es decir:[/size][/size][br][br][math]y_0=f\left(x_0\right)[/math][br][br][size=100][size=150]Por lo tanto, la ecuación explícita de la recta tangente a una función[/size][/size] [math]f\left(x\right)[/math] [size=100][size=150]en el punto de coordenadas[/size] [/size][math]\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)[/math] [size=100][size=150]queda definida por:[/size][/size][br][br][math]y=f'\left(x_0\right)·\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)[/math] [br][br][size=150]Por comodidad al teclear en Geogebra, vamos a sustituir[/size] [math]x_0=a[/math] [size=150]y tendremos:[/size][br][br][math]y=f'\left(a\right)·\left(x-a\right)+f\left(a\right)[/math]

Mira los objetos ya definidos en Geogebra y escribe en la línea de entrada la ecuación explícita de la recta tangente a la función, que pasa por el punto (a, f(a)). Cuando tengas la recta, mueve el deslizador para comprobar cómo varía su pendiente.

¿Cuándo es máxima la pendiente de la recta tangente? ¿Y cuándo es mínima?

[size=150][b]Moviendo el deslizador, varías el punto de tangencia y la ecuación de la recta tangente[/b]. La pendiente de la recta tangente cambia porque también cambia el valor de la derivada en x=a.[/size]

Mueve el deslizador y comprueba en el campo de texto el valor variable de la pendiente de la recta tangente. ¿Para qué valor del punto x=a se obtiene el valor máximo y el valor mínimo de la pendiente?

Optimizar la pendiente de la recta tangente

[size=150][b]El valor máximo y el valor mínimo de la pendiente de la recta tangente se alcanzan en los valores x=a siguientes:[/b][/size]

-0.6 y +0.6 -0.5 y +0.5 -0.7 y +0.7 -0.8 y +0.8

Realizar operaciones matemáticas para obtener, de forma exacta, los valores x=a que optimizan a la pendiente de la recta tangente.

[size=150]Los máximos y los mínimos de la pendiente de la recta tangente son los máximos y los mínimos de la función derivada. Y estos valores, en consecuencia, son los puntos de inflexión de la función original. [b]¿Cuáles son los valores exactos de los puntos de inflexión? [/b]Realiza en tu cuaderno las operaciones de la condición necesaria de punto de inflexión. No es necesario que apliques ninguna de las condiciones suficiente.[/size]

[math]\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] [math]\pm\frac{2}{3}[/math] [math]\pm\frac{3}{4}[/math] [math]\pm\frac{\sqrt{3}}{2}[/math] [math]\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]