kwadratuur van de cirkel
'Teken, met enkel passer en lineaal als hulpmiddel, een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een gegeven cirkel'. Het is een van de oudste vragen uit de Griekse meetkunde. Cirkels en vierkanten zijn meetkundige basisvormen, dus heel moeilijk lijkt de opgave niet.
Table of Contents
- vierkantswortels tekenen
- waarom een wortel?
- wortel van een geheel getal
- wortel van een breuk
- het 'probleem' pi
- kwadratuur van de cirkel
- Ramanujan en de kwadratuur
- Het gulden getal fi en pi
waarom een wortel?
Oppervlakte van een cirkel
Een cirkel met straal r heeft als oppervlakte [math]\pi[/math] . r².[br]Een vierkant met dezelfde oppervlakte als deze cirkel heeft dus ook als oppervlakte [math]\pi[/math] . r².
Om het vierkant te tekenen moeten we dus [math]\sqrt{\pi}[/math] kunnen construeren.[br] maar hoe construeer je vierkantswortels?
kwadratuur van de cirkel
constructie
Een vierkant tekenen waarvan de oppervlakte gelijk is aan die van een gegeven cirkel, noemt men de [b]kwadratuur van de cirkel[/b]. Het is ook helemaal geen probleem om deze constructie te maken.
constructievoorwaarden
De kwadratuur van de cirkel is op zich helemaal geen probleem, tenzij we als constructievoorwaarden toevoegen [i]'door enkel gebruik te maken van passer en lineaal'[/i]. [br]In de loop van de geschiedenis leerde men geleidelijk aan meer en meer over het verband tussen meetkunde en het oplossen van vergelijkingen. Constructies realiseerbaar met passer en lineaal komen overeen met vergelijkingen waarvan je de oplossingen kunt schrijven met vierkantswortels. Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand van Lindenmann dat het getal [math]\pi[/math] een zgn. [i]transcendent[/i] of niet-algebraïsch getal is. Dat wil zeggen dat het niet kan voorkomen in de oplossing van een algebraïsche vergelijking. In gewone mensentaal: [b]de kwadratuur van de cirkel is onmogelijk met enkel passer en lineaal[/b].