Untersuchen Sie die Eigenschaften einer rekursiv definierten Folge mit der Rekursionsvorschrift [br]a) [math]x_{n+1}=R\left(x_n\right)=\frac{x_n^2+3}{4}[/math][br]b) [math]x_{n+1}=R\left(x_n\right)=-\frac{1}{6}x_n^3+\frac{3}{2}x_n^2-\frac{17}{6}x_n+\frac{3}{2}[/math][br]c) [math]x_{n+1}=R\left(x_n\right)=\cos(x)[/math][br]Verändern Sie dazu den [b][color=#0000ff]Startwert x[sub]0[/sub][/color][/b] und beobachten Sie die Entwicklung der Folgenglieder.[br]Welche Fixpunkt ist anziehend und welcher ist abstoßend?

[list=1][*]Ein Fixpunkt [math]\overline{x}_1=-5+\sqrt{65}\approx3,06[/math] der Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)=-0,1x^2+4[/math] ist anziehend; der andere Fixpunkt [math]\overline{x}_2=-5-\sqrt{65}\approx -13,06[/math] ist abstoßend. [/*][*]Der Fixpunkt [math]\overline{x}_1= 1[/math] der Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)=x³ - 2x² + 2x[/math] ist weder anziehend noch abstoßend; der andere Fixpunkt [math]\overline{x}_2=0[/math] ist abstoßend[br][/*][*]Der Fixpunkt [math]\overline{x}= 1[/math] der Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)= (x - 0.5)² + 0.75[/math] ist weder anziehend noch abstoßend.[br][/*][*]Der Fixpunkt [math]\overline{x}= 2[/math] der Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)= -x+4[/math] ist weder anziehend noch abstoßend. Beachte, dass die Folgenglieder - abhängig vom Startwert [math]x_0[/math] (außer Startwert 2) - immer zwischen den zwei Werten [math]x_0[/math] und [math]4-x_0[/math] hin- und herwechseln. [br]Somit sind [math]x_0[/math] und [math]4-x_0[/math] Häufungspunkte der Folge.[/*][*]Sehr ähnlich ist das Verhalten der Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]. Hier existieren zwei Fixpunkte [math]\overline{x}_1=-1[/math] und [math]\overline{x}_2=1[/math], die weder anziehend noch abstoßend sind.[/*][*] Die Rekursionsvorschrift R mit [math]R\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{5}{8}x^2-\frac{1}{2}x[/math] hat bei [math]\overline{x}_1=0[/math] und [math]\overline{x}_3=6[/math] zwei anziehende und bei [math]\overline{x}_2=4[/math] einen abstoßenden Fixpunkt.[/*][/list][br][i]Tipp: Zoome entsprechend in die Konstruktion, um weitere Fixpunkte sehen zu können.[/i]