[br][br] [size=100]随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种类型。[/size][br][br][b] （一）离散型随机变量[br][br][/b][size=100] 离散型随机变量是可以逐个列举出来的变量。如果能够用我们日常使用的量词进行度量取值，比如次数、个数、块数等都是离散型随机变量。[/size][br][br][b] （二）连续型随机变量[br][br][/b] [size=100]连续型随机变量是无法逐个列举的变量，无法用量词度量，且取值可以取到小数 2 位、3位甚至无限多位的时候，那么这个变量就是连续型随机变量。比如正态分布（也称为高斯分布）、指数分布等就是连续型随机变量。 [br][br][/size] [size=100][b]（三）概率函数[/b][/size][br][br] 其实，无论是离散型还是连续型随机变量，基础性的概率函数概念只有两个，即[b]概率分布函数[/b]和[b]概率密度函数[/b]。[br][br] 需要说明的是，我们一般用大写字母[math]P[/math]和[math]F[/math]，来表示概率分布函数，而用小写字母[math]p[/math]和[math]f[/math]来表示概率密度函数。[br][br] 对于离散型随机变量来讲，其概率分布的表达可以用最简单的列表来呈现。如表1-2-1所示。[br] [br]表 1-2-1 离散型随机变量的值分布和值的概率分布列表[br][table][tr][td][math]X[/math][/td][td][math]x_1[/math][/td][td][math]x_2[/math][/td][td]...[/td][td][math]x_n[/math][/td][td]...[/td][/tr][tr][td][math]P_i[/math][br][/td][td][math]p_1[/math][/td][td][math]p_2[/math][/td][td]...[/td][td][math]p_n[/math][/td][td]...[/td][/tr][/table] 对于可以枚举的离散型随机变量，如抛骰子、掷硬币等，表格可以清晰表达各变量的概率取值情况，但对于大量取值的离散变量，如彩票等，表格将无法呈现，所以，离散型随机变量的概率分布函数和概率密度函数用统一的公式表示为：[br][br][b] （1）离散型变量[math]X[/math]的概率密度函数：[br] [br] [/b][math]f\left(x\right)=p\left\{x=x_k\right\}=p_k[/math][math]k=1,2,3,\cdots[/math]，[br] 该函数又称为分布律、概率函数等。[br][b][br] （2） 离散型变量[math]X[/math]的概率分布函数：[br][br] [math]F\left(x\right)=p\left(X\le x\right)=\sum_{_{x_k\le x}}p_k[/math]，[br][/b] 由公式可以看出，[math]F\left(x\right)[/math]是[math]X[/math]取[math]\le x[/math]的各[math]x_k[/math]各概率值之和，因此又称为累积概率函数。[br][br][b] （3）连续型变量[math]X[/math][/b][b]的概率密度函数：[/b][br][br] 若随机变量[math]X[/math]，对于任意[math]x[/math] 有一非负函数[math]f\left(x\right)[/math]，则称[math]f\left(x\right)[/math]为连续型随机变量[math]X[/math]的概率密度函数。[br][br][b] （4）连续型变量[math]X[/math][/b][b]的概率分布函数：[br][/b] [br] 对于随机变量[math]X[/math]的[math]f\left(x\right)[/math] 恒有[math]F\left(x\right)=\int^x_{-\infty}f\left(t\right)dt[/math]，则称[math]F\left(x\right)[/math]为连续型随机变量[math]X[/math]的概率分布函数。又称为概率质量函数。[br][br][b] 【拓展知识】概率密度的形象解释[/b][br][br] 密度一词，来源于物理学，一个物体是由无数个点组成的，而一个点又是无限小的，点的质量为0。如果要计算这个物体的质量，需要引入密度的概念。然而这个物体是由无数个点组成的，假如我们又需要求它质量，怎么办呢？于是引入密度的概念。[math]\rho=lim_{v\longrightarrow0}\frac{\bigtriangleup m}{\bigtriangleup v}[/math]，最后再把密度积分就可以得到质量[math]m[/math]了。[br][br] 同理，如果[math]\left[0,1\right][/math]上随机取点，求取在某一点处的概率，点的长度无限小，此概率一定为0。这时情况和上面所述类似，我们需要引入概率密度[math]p[/math]，其中[math]p=lim_{x\longrightarrow0}\frac{\bigtriangleup p}{\bigtriangleup x}[/math]，这样我们就可以求所取点落在某一段[math]\left(a,b\right)[/math]上的概率了。概率[math]p=\int^b_ap\left(t\right)dt[/math]。所以，可以归纳为以下两点：[br][br] 1.字面意义上的“一个点的概率”是0。[br] [br] 2.应用层面的概率密度其实也是指一个区间内的概率密度函数的定积分，只不过这个区间趋向于无穷小。[br][br] 举例如下：[br][br] 给定概率密度函数：[math]p\left(x\right)=\frac{B}{1+x^2}[/math]。[br][br] 1.求解[math]B[/math]的值：[math]\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{B}{1+x^2}dx=1\Longrightarrow B=\frac{1}{\pi}[/math]。[br][br] 2.求解[math]x[/math]的分布函数：[math]\int_{-\infty}^x\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}da=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}arctanx[/math]。[br][br] 3.求解[math]p\left(0\le x\le1\right)[/math]：[math]\int_0^1\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}dx=\frac{1}{4}[/math]。[br][br] 给定概率分布函数：[math]F\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}0,x<0\\\begin{matrix}Ax^2,x\le x\le1\\1,x>1\end{matrix}\end{matrix}\right\}[/math]。[br][br] 1.求解[math]A[/math]的值：[math]F\left(1\right)=1\Longrightarrow A=1[/math]。[br][br] 2.求概率密度函数：[math]p\left(x\right)=F'\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}2x,0\le x\le1\\\begin{matrix}0,其他\end{matrix}\end{matrix}\right\}[/math]。