[color=#0000ff][i][b][size=50][right]10.11.2020[br]ergänzt: 16.01.2022[/right][/size][/b][/i][/color][br][size=50][right]Diese Seite ist auch eine Ativität des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url][/right][/size]

[list][*][size=85]Wo schneiden sich die [color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#38761D][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] unter einem vorgegebenen [color=#ff00ff][i][b]fixen Winkel[/b][/i][/color]?[/size][/*][*][size=85]Wo berühren sich die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden [/b][/i][/color][/size]zweier [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color][/size]?[/size][/*][*][size=85]Wo schneiden sich die [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size] zweier [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color][/size] senkrecht?[/size][/*][*][size=85]Wo schneiden sich die [color=#741B47][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus zwei [b][i][/i][/b][color=#741B47][i][b] elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color] [size=85]unter einem vorgegebenen [/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]fixen Winkel[/b][/i][/color][/size]?[/size] [/size][/*][*][size=85]Wo berühren sich die [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] aus zwei [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size]?[/size][/*][*][size=85]Wo schneiden sich die [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size] aus zwei [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size] orthogonal?[/size][/*][/list][list][*][size=85]Zwei [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size] durch zwei verschiedenen Punkte schneiden sich unter einem vorgegebenen [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]fixen Winkel[/b][/i][/color][/size] [size=50](eigentlich modulo 180°)[/size][br]auf einem Kreis durch die beiden Punkte: Satz von Fass-Kreis, [i][b]Peripherie-Winkel-Satz[/b][/i].[/size][/*][*][size=85]Zwei [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size] durch zwei verschiedene Punkte berühren sich in [math]\infty[/math], wenn sie parallel sind.[/size][/*][*][size=85]Zwei [/size][size=85][size=85][color=#38761D][i][b]Geraden[/b][/i][/color][/size] durch zwei verschiedene Punkte schneiden sich auf dem [b]THALES[/b]-Kreis senkrecht.[/size][/*][/list][size=85][br]Der Ort, auf welchem sich die [/size][size=85][color=#741B47][i][b][size=85][color=#741B47][i][b]Kreise[/b][/i][/color][/size][/b][/i][/color] aus zwei [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size] mit unterschiedlichen [color=#00ff00][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color] [br]unter einem vorgegebenen [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][i][b]fixen Winkel[/b][/i][/color][/size][/size] schneiden, ist möbiusgeometrisch eine [color=#ff7700][b]CASSINI[/b][/color]-Kurve.[br]Eine [color=#ff7700][b]CASSINI[/b][/color]-Kurve entsteht aus einem [color=#00ffff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] unter der [color=#980000][i][b]komplexen Wurzel-Funktion[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Ein [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size] besteht aus den [/size][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size][/size] durch zwei verschiedene Punkte, den [color=#00ff00][i][b]Grundpunkten[/b][/i][/color] des [/size][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]Büschels[/b][/i][/color][/size][/size].[br]4 verschiedene Punkte in [math]\mathbb{C}[/math] lassen sich mit einer Möbiustransformation auf Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] , für ein [math]f\in\mathbb{C}[/math] abbilden.[br]Die [color=#00ff00][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] der beiden [/size][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color][/size][/size] im [b]Applet[/b] oben seien [i][color=#00ff00][b]f[sub]11[/sub][/b][/color][/i], [color=#00ff00][i][b]f[sub]12[/sub][/b][/i][/color] = -[color=#00ff00][i][b]f[sub]11[/sub][/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]f[sub]21[/sub][/b][/i][/color] = 1/[color=#00ff00][i][b]f[sub]11[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]22[/sub][/b][/i][/color] = -[color=#00ff00][i][b]f[sub]21[/sub][/b][/i][/color].[br]Quadriert erhält man die [color=#00ffff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]f[sub]11[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color] (= [color=#00ff00][i][b]f[sub]12[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color]) und [color=#00ff00][i][b]f[sub]21[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color] (= [color=#00ff00][i][b]f[sub]22[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color]). [br]In Polarkoordinaten ist [/size][size=85][size=85][i][color=#00ff00][b]f[sub]11[/sub][/b][/color][/i][/size] [math]=\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}[/math]. Dieser Grundpunkt ist beweglich. [color=#0C343D][b] move[/b][/color] [/size][size=85][size=85][size=85][i][color=#00ff00][b]f[sub]11[/sub][/b][/color][/i][/size][/size].[br]Die [color=#00ffff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] über der Strecke [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]f[sub]11[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color]_[/size][/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]f[sub]21[/sub][sup]2[/sup][/b][/i][/color] sind [color=#00ffff][i][b]Peripherie-Winkel-Kreise[/b][/i][/color] zum Winkel [math]\alpha[/math] (modulo 180°). [br]Der Mittelpunkt [color=#00ffff][b]m[/b][/color] dieser Kreise ist beweglich.[/size][br]Aus diesen Kreisen: [math]\left|w-m\right|^2=r^2[/math] werden unter der komplexen Wurzel-Funktion die [color=#ff7700][b]CASSINI-[i]Quartiken[/i][/b][/color][br][/size][/size][list][*][size=85][size=85][math]\left|z^2-{f_c}^2\right|^2=\left|z-f_c\right|^2\cdot\left|z+f_c\right|^2=r^2[/math] mit [math]z^2=w[/math] und [math]{f_c}^2=m[/math][br][math]\pm f_c[/math] sind 2 der im Allgemeinen 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] einer [color=#ff7700][b]CASSINI[/b][i][b]-Quartik[/b][/i][/color].[/size][/size][/*][/list][size=85]Die [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]"Brenn"-Kreise[/b][/i][/color][/size][/size][/size] ([color=#ff0000][i][b]rot[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]blau[/b][/i][/color]) aus den beiden [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size][/size][/size] schneiden sich [br]in den Punkten [color=#ff7700][b]z[/b][/color] der [color=#ff7700][b]CASSINI-[i]Quartik[/i][/b][/color] unter konstantem Winkel [math]\beta[/math]. [br]Bei geeigneter Orientierung der Winkel besteht zwischen dem [color=#00ffff][i][b]Peripherie-Winkel[/b][/i][/color] [math]\alpha[/math], [br]dem [color=#ff00ff][b]CASSINI-[i]Schnittwinkel[/i][/b][/color] [math]\beta[/math] und dem [color=#00ff00][i][b]Lage-Winkel[/b][/i][/color] [math]\varphi[/math] zu [/size][size=85][size=85][i][color=#00ff00][b]f[sub]11[/sub][/b][/color][/i] die Beziehung[br][/size][/size][list][*][size=85][size=85][math]\alpha+\beta+2\cdot\varphi=180°[/math][/size][/size] [size=85]modulo 180°[/size][br][/*][/list][size=85]Die [size=85][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]"Brenn"-Kreise[/b][/i][/color][/size][/size][/size] ([color=#ff0000][i][b]rot[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]blau[/b][/i][/color]) aus den beiden [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]elliptischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size] [i][b]berühren[/b][/i] sich auf der [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][b]CASSINI[/b][i][b]-Quartik[/b][/i][/color][/size][/size], [br] wenn der Mittelpunkt [color=#00ffff][b]m[/b][/color] des zugehörigen [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ffff][i][b]Peripherie-Winkel-Kreises[/b][/i][/color][/size][/size][/size] auf der [math]y[/math]-Achse liegt. [br]Die [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]"Brenn"-Kreise[/b][/i][/color][/size][/size][/size] ([color=#ff0000][i][b]rot[/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]blau[/b][/i][/color]) [i][b]schneiden sich senkrecht[/b][/i] auf der [/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#ff7700][b]CASSINI[/b][i][b]-Quartik[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size][/size], [br] wenn der Mittelpunkt [color=#00ffff][b]m[/b][/color] auf der [math]x[/math]-Achse liegt.[/size][br][br][size=85]Dies beantwortet die eingangs gestellten Fragen.[/size]

[size=85][u][i][b]Sonderfälle[/b][/i][/u]:[br][/size][list][*][size=85]Die Büschelpunkte liegen auf einem Kreis (hier: auf dem Einheitskreis) oder auf einer Geraden (zB. auf der [math]x[/math]-Achse).[/size][/*][*][size=85]Die Büschelpunkte-Paare liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, zB. auf den Winkelhalbierenden.[br][/size][/*][*][size=85]Die Büschelpunkte liegen harmonisch: zB. in den Schnittpunkten des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden.[/size][/*][/list][size=85]Siehe hierzu die Aktivität [math]\hookrightarrow[/math] [color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/rg3n43jk][size=100]CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2-[/size][/url][/b][/color][br][br]Unter welchen Bedingungen zerfällt die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]?[br][color=#cc0000][u][i][b]Antwort:[/b][/i][/u][/color] Liegt keiner der oben genannten Sonderfälle vor, dann sind die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color], also der Ort der [color=#ff7700][i][b]Punkte[/b][/i][/color], in welchem[br]sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter eine konstanten Winkel [math]\beta[/math] schneiden, [i][b]nicht-zerlegbare[/b][/i] [br][b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color]![br]Liegen die Büschelpunkte auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], so zerfallt die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] nur für den Berührwinkel [math]\beta=0[/math]; [br]der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] besteht dann aus dem gemeinsamen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] der Büschelpunkte und einem dazu orthogonalen [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color], [br]der beiden [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color] gemeinsam ist.[br]Liegen die Büschelpunkt-Paare spiegelbildlich auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], so zerfällt die [i][b]Quartik[/b][/i] nur für den Winkel [math]\beta=90°[/math].[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] besteht dann aus den beiden [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color][/size]. [br]Eines der Büschel muss [color=#ff0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], das andere [color=#ff0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] sein.[br][br]Die Kurven, die ein [color=#674ea7][i][b]hyperbolisches oder ein elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter konstantem Winkel schneiden, [br]sind die [color=#351C75][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color].[br]Die blauen [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] [/size][size=85][size=85]des Büschels [/size][/size][size=85][size=85][size=85][i][color=#00ff00][b]f[sub]11[/sub][/b][/color][/i], [color=#00ff00][i][b]f[sub]12[/sub][/b][/i][/color][/size] [/size]zum Winkel [math]-\beta[/math] berühren auf der [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][b]CASSINI-[i]Quartik[/i][/b][/color][/size] die roten [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des 2.ten Büschels.[br][br][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i] der [color=#ff7700][b]CASSINI-[i]Quartiken[/i][/b][/color]:[br][/size][list][*][size=85][b][/b][math]Cas_{\pm}:=[/math] [math]\mathbf{Kurve}(\pm\mathbf{sqrt}\left(m+ℯ^{t\cdot i}\cdot(q_{11}-m)\right),t,-\pi,\pi)[/math][/size][/*][/list][size=85][i][b]Parameterdarstellung[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] mit den [color=#00ff00][i][b]Grundpunkten f[/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]-f[/b][/i][/color] durch den Punkt [color=#ff7700][i][b]p[/b][/i][/color] zum Winkel [math]\alpha[/math]:[br][list][*][math]Lox:=\mathbf{Kurve}\left(f\cdot\frac{\left(p+f\right)\cdot e^{t\cdot w}+\left(p-f\right)}{\left(p+f\right)\cdot e^{t\cdot w}-\left(p-f\right)},t,-10,10\right)[/math][size=85][/size] mit [math]w:=e^{\alpha\cdot i}[/math] siehe unten.[/*][/list][size=85][u][i][b]Wurzeln und Quadrieren in[/b][/i][/u] [math]\mathbb{C}[/math] [br][/size][/size][size=85]Da hilft der [color=#cc0000][i][b]Höhensatz[/b][/i][/color]: die Höhe im einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten 1 und [math]q[/math] beträgt [math]\sqrt{q}[/math].[br][br]Genaueres Im [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Möbiusebene[/url][/b][/i][/color], insbesondere in den Kapiteln:[br][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168947]Lage von 4 Punkten[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949]Kreisbüschel und lineare Vektorfelder[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948]Berührorte und Cassini-Kurven[/url][/size]

[size=85][color=#00ffff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] zu den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] mit den Büschelpunkten [color=#00ff00][b]f[/b][/color] und [color=#00ff00][b]-f[/b][/color].[/size]