1ºESO. Proporcionalidad y porcentajes
1º ESO Tema 7
Table of Contents
- Conceptos básicos
- ¿Cuánto queda...? (Proporcionalidad y porcentajes)
- Tipos de relación entre magnitudes
- Razón y proporción. Jugamos con los conceptos básicos
- Proporcionalidad
- Término desconocido en proporcialidad directa. Tablas de proporcionalidad
- Proporcionalidad Inversa. Término desconocido
- Propiedades de las proporciones
- Cómo resolver problemas
- Proporcionalidad directa. Regla de Tres
- Proporcionalidad inversa. Regla de Tres Inversa
- Reducción a la unidad. Proporcionalidad directa
- Reducción a la unidad (cálculo del total) en Proporcionalidad Inversa
- Porcentajes
- ¿Qué son los porcentajes?
- Calcula el porcentaje...
- ¿Cuánto es ese porcentaje?
- Problemas de porcentajes
- Calcula el porcentaje. Problemas
- ¿Cuánto es ese procentaje? Problemas
- ¿Cuánto era? Problemas de porcentajes
- Problemas de porcentajes
- Cálculo de Aumentos y disminuciones porcentuales
- Cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales, y cuánto era antes
- Problemas de proporcionalidad
- Proporcionalidad Directa e inversa. Regla de Tres
- Reducción a la unidad. Problemas
- Reparto proporcional. Problemas
¿Cuánto queda...? (Proporcionalidad y porcentajes)
De camino a las rebajas
[list=1][*]Llevamos mucho rato viajando y estamos aburridos ¿[b]cuánto queda[/b]? [br][list][*]Circulando a [b]120km/h[/b], para saber cuántos minutos quedan [br]dividimos la distancia a la mitad.[/*][*]Si vamos a [b]100km/h[/b], tardamos un poco más, pero ¿cuánto más?: [br]Lo que resulte de "quitar" la última cifra a la distancia [br][i][size=85]([color=#0000ff][u][color=#000000]dividir entre 10[/color][/u][/color], moviendo la coma a la izquierda)[/size][/i][/*][/list][/*][*]Podemos calcular una [b]rebaja del 10%[/b] "quitando" la última cifra al precio.[br][list][*]Si es otro porcentaje, como el [b]20%[/b], calculamos el doble, etc. [br][/*][/list][/*][/list]Con esta actividad podemos ver más ejemplos de estos trucos, y practicarlos jugando.[br]Pero lo más importante es que, conociendo un poco de matemáticas, podremos dar la justificación de estos y muchos otros trucos de cálculo mental.
Puntuación
[list][*]Cada ejercicio correcto vale 1,25 puntos.[/*][*]Cada fallo penaliza 0,5 puntos.[/*][*]Quedarse sin tiempo penaliza 0,25 puntos.[/*][/list]Podemos intentar tantos ejercicios como queramos. Siempre se conservará la calificación más alta obtenida.
Término desconocido en proporcialidad directa. Tablas de proporcionalidad
Instrucciones
[list][*]Pulsando en [b]otro ejemplo[/b], veremos más ejemplos con diferentes números.[/*][*]Podemos situar el término desconocido en cualquiera de las cuatro posiciones, moviendo la flecha que hay junto al último ejemplo.[/*][*]Recuerda que podemos usar estas estrategias cuando resolvamos problemas de proporcionalidad directa.[br][/*][/list][br][b]Ejercicios.[/b][br][list][*]Hay de completar las tablas de proporcionalidad que nos van proponiendo, utilizando alguna de las estrategias aprendidas.[br][/*][*]Cada apartado rellenado correctamente vale [b]1 punto[/b]. Los fallos no penalizan.[/*][*]Podemos hacer tantos ejercicios como queramos.[/*][*]Al corregir cada ejercicio, veremos una [b]representación gráfica[/b] de los datos.[br][/*][/list]
Proporcionalidad directa. Regla de Tres
Instrucciones
[list][*]Si no sabes cómo resolver el ejercicio, puedes usar las pistas, pero recibirás menos puntos. [br][/*][*]Las respuestas incorrectas no restan. Puedes hacer todos los problemas que quieras.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][/list]
¿Será posible?
Podríamos pensar que, al resolver un problema, podría aparecer cualquier número tanto en el enunciado como la solución. [br]Sin embargo, no todos son aceptables en el contexto del problema.[br][list][*]Por ejemplo, no deberíamos obtener un precio negativo, o una cantidad "con decimales" de personas. Es buena costumbre hacer esas pequeñas comprobaciones, por si hemos cometido algún error en el proceso de resolución.[/*][*]También puede ocurrir que, en alguno de esos problemas, aparezcan datos poco realistas. Por ejemplo, un precio demasiado bajo/alto. Cuando nos aparezca algún problema así, antes de mostrar nuestros resultados al profesor, anotaremos junto al problema:[br][list=1][*]Cuál es el dato del problema que no te ha parecido realista.[/*][*]Entre qué valores debería estar comprendido ese dato.[/*][/list][/*][/list]
Ojo con la regla de tres
Cuando resolvemos estos problemas, debemos tener cuidado de no caer en dos posibles trampas:[br][list=1][*]Pensar que todos los problemas se resuelven mediante proporcionalidad ¡no es así! [br][b]La proporcionalidad es solamente uno de los [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]tipos de relación[/url] que podemos encontrar[/b].[/*][*]Intentar memorizar una regla para obtener el resultado directamente, sin razonar.[/*][/list][list][*]Es bueno conocer la regla de tres porque ha sido muy utilizada "históricamente"; tanto, que hasta ha trascendido al lenguaje cotidiano.[br]Pero [b]no se deben memorizar trucos[/b] que no estamos seguros de por qué funcionan para resolver estos problemas.[/*][*]Si te fijas en el applet, lo que principalmente se usa de la regla de tres es para plantear el problema, disponiendo los datos en forma de tabla.[br]En lugar de aprender directamente qué cuentas hacer a partir de ahí, deberíamos ser capaces de razonar qué hacer. Por ejemplo, resolver el problema mediante relaciones de proporcionalidad (medio, mitad, tercio...), [url=https://www.geogebra.org/m/vyvaywkz]tablas de proporcionalidad[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/ydnjfrtj]reducción a la unidad[/url], etc.[/*][*]En el applet se ha optado por utilizar el planteamiento en forma de tabla, para pasar a resolver calculando el cuarto proporcional planteando una igualdad entre proporciones, como podríamos hacer cuando no vemos "de cabeza" el elemento que falta en una tabla de proporcionalidad.[/*][/list]
No todo es proporcionalidad
Aunque resolviendo estos ejercicios puede parecer que todo se resuelve usando proporcionalidad, eso no es cierto. Visitando [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]esta actividad (clic aquí)[/url] veremos los diferentes tipos de relaciones entre magnitudes. Pero veamos también algunos [b]ejemplos[/b]:[br][list=1][*]Diez músicos de la banda tocan cierto pasodoble en 3 minutos. ¿Cuánto tardan en tocarlo 20 músicos de la banda?[br]¡Pues también 3 minutos, pues ese es el tiempo que dura el pasodoble![br][/*][*]Si una persona tarda 10 minutos en recorrer el paseo marítimo, ¿cuánto tardan dos personas?[br]Pues lo normal es que tarden también 10 minutos, a no ser que vayan hablando y eso haga que caminen más deprisa o más despacio, o bien que una vaya más rápido que otra porque camina a diferente velocidad...[/*][*]Un cuadrado mide 3 metros de lado, así que su área es 9m[sup]2[/sup]. ¿Cuál será el área de un cuadrado de 6 metros de lado?[br]Pues [b]NO[/b] es 9·2=18m[sup]2[/sup], sino 9✕9=81m[sup]2[/sup], porque el área no es proporcional a la longitud del lado.[br][/*][/list]
¿Qué son los porcentajes?
Mueve el símbolo "[b]☊[/b]" para dividir en más o menos porciones, y "[b]✄[/b]"[br] para elegir con cuántas te quedas. [br]Al estudiar porcentajes mayores del 100%, haz click en los círculos [br](unidades) que aparecerán en la parte inferior, para quedarte con más o [br]menos unidades.
Calcula el porcentaje. Problemas
Proporcionalidad Directa e inversa. Regla de Tres
Instrucciones
[list][*]Si no sabes cómo resolver el ejercicio, puedes usar las pistas, pero recibirás menos puntos. [br][/*][*]Las respuestas incorrectas no restan. Puedes hacer todos los problemas que quieras.[/*][*]La puntuación máxima es 10. Al alcanzarla, el fondo de la pantalla pasará a ser [color=#6aa84f][b]verde[/b][/color].[/*][/list]
¿Será posible?
Podríamos pensar que, al resolver un problema, podría aparecer cualquier número tanto en el enunciado como la solución. [br]Sin embargo, no todos son aceptables en el contexto del problema.[br][list][*]Por ejemplo, no deberíamos obtener un precio negativo, o una cantidad "con decimales" de personas. Es buena costumbre hacer esas pequeñas comprobaciones, por si hemos cometido algún error en el proceso de resolución.[/*][*]También puede ocurrir que, en alguno de esos problemas, aparezcan datos poco realistas. Por ejemplo, un precio demasiado bajo/alto. Cuando nos aparezca algún problema así, antes de mostrar nuestros resultados al profesor, anotaremos junto al problema:[br][list=1][*]Cuál es el dato del problema que no te ha parecido realista.[/*][*]Entre qué valores debería estar comprendido ese dato.[/*][/list][/*][/list][br][right][/right][i][size=85][right]Gracias a los alumnos de [url=https://twitter.com/bblanc0]Beatriz Blanco[/url], del [url=https://ieseugeniofrutos.educarex.es/]IES Eugenio Frutos, de Guareña[/url],[br]por sus observaciones sobre los datos de los enunciados.[/right][/size][/i]
Ojo con la regla de tres
Cuando resolvemos estos problemas, debemos tener cuidado de no caer en dos posibles trampas:[br][list=1][*]Pensar que todos los problemas se resuelven mediante proporcionalidad ¡no es así![br][b]La proporcionalidad es solamente uno de los [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]tipos de relación[/url] que podemos encontrar[/b].[/*][*]Intentar memorizar una regla para obtener el resultado directamente, sin razonar.[/*][/list][list][*]Es bueno conocer la regla de tres porque ha sido muy utilizada "históricamente"; tanto, que hasta ha trascendido al lenguaje cotidiano.[br]Pero [b]no se deben memorizar trucos[/b] que no estamos seguros de por qué funcionan para resolver estos problemas.[/*][*]Si te fijas en el applet, lo que principalmente se usa de la regla de tres es para plantear el problema, disponiendo los datos en forma de tabla.[br]En lugar de aprender directamente qué cuentas hacer a partir de ahí, deberíamos ser capaces de razonar qué hacer. Por ejemplo, resolver el problema mediante relaciones de proporcionalidad (medio, mitad, tercio...), tablas de proporcionalidad, ya sea [url=https://www.geogebra.org/m/vyvaywkz]directa[/url] o [url=https://www.geogebra.org/m/sjkgy3bg]inversa[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/vacmkrzc]reducción a la unidad[/url], etc.[/*][*]En el applet se ha optado por utilizar el planteamiento en forma de tabla, para pasar a resolver calculando el cuarto proporcional planteando una igualdad entre proporciones, como podríamos hacer cuando no vemos "de cabeza" el elemento que falta en una tabla de proporcionalidad.[/*][/list]
No todo es proporcionalidad
Aunque resolviendo estos ejercicios puede parecer que todo se resuelve usando proporcionalidad, eso no es cierto. Visitando [url=https://www.geogebra.org/m/wxmyfaek]esta actividad (clic aquí)[/url] veremos los diferentes tipos de relaciones entre magnitudes. Pero veamos también algunos [b]ejemplos[/b]:[br][list=1][*]Diez músicos de la banda tocan cierto pasodoble en 3 minutos. ¿Cuánto tardan en tocarlo 20 músicos de la banda?[br]¡Pues también 3 minutos, pues ese es el tiempo que dura el pasodoble![br][/*][*]Si una persona tarda 10 minutos en recorrer el paseo marítimo, ¿cuánto tardan dos personas?[br]Pues lo normal es que tarden también 10 minutos, a no ser que vayan hablando y eso haga que caminen más deprisa o más despacio, o bien que una vaya más rápido que otra porque camina a diferente velocidad...[/*][*]Un cuadrado mide 3 metros de lado, así que su área es 9m[sup]2[/sup]. ¿Cuál será el área de un cuadrado de 6 metros de lado?[br]Pues [b]NO[/b] es 9·2=18m[sup]2[/sup], sino 9✕9=81m[sup]2[/sup], porque el área no es proporcional a la longitud del lado.[br][/*][/list]