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Funktion - Grundlagen
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1. Grundlagen
- Kennzeichen von Funktionen
- Kennzeichen von Funktionen
- Funktion und ihre Darstellungen
- Was kennzeichnet eine Funktion?
- Die Funktion als Rechenmaschine
- Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt
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2. Umkehrfunktion
- Umkehrfunktion
- Was ist eine Umkehrfunktion?
- Umkehrfunktion testen
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Funktion - Grundlagen
Benjamin Widmer, Mar 17, 2021
Was ist eine Funktion genau? Klärung des Funktionsbegriffs.
Table of Contents
- Grundlagen
- Kennzeichen von Funktionen
- Kennzeichen von Funktionen
- Funktion und ihre Darstellungen
- Was kennzeichnet eine Funktion?
- Die Funktion als Rechenmaschine
- Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt
- Umkehrfunktion
- Umkehrfunktion
- Was ist eine Umkehrfunktion?
- Umkehrfunktion testen
Kennzeichen von Funktionen
An jedem Tag kann nur eine Höchsttemperatur erreicht werden, aber nicht jede Höchsttemperatur wurde an einem Tag erreicht.
An zwei verschiedenen Tagen kann der gleiche Tageshöchstwert erreicht werden, aber zwei verschiedene Höchstwerte kann es an einem Tag nicht geben.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
Jedem Tag ist eindeutig ein Tageshöchstwert zugeordnet. Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.
Gilt auch die Umkehrung?
Aufgabe:
Zeichne eine beliebige Funktion in das Koordinatensystem.
Umkehrfunktion
Was ist nun eine Umkehrfunktion?
Wir erinnern uns: Bei einer Funktion f(x) wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet.
- Anders ausgedrückt: Bei einer Umkehrfunktion werden die x- und y-Werte der Ausgangsfunktion vertauscht.
- Einfach gesagt dreht eine Umkehrfunktion die ursprüngliche Funktion um.
Anleitung
Bei Punkten ist so eine Umkehrung ganz simpel:
Du vertauscht einfach die x- und y-Koordinaten. Ist beispielsweise der
Punkt P(5|3), gegeben, hat die Umkehrung die Koordinaten P
(3|5).
Ganz leicht, oder? Bewege die beiden blauen Punkte an einen beliebigen Punkt und berechne jeweils die Umkehrung. Korrigiere danach deine Lösung mit den beiden Kästchen unten (Punkt A,B spiegeln).
Die Umkehrzuordnung zu ermitteln ist auch nur ein klein wenig komplizierter.
Zuerst solltest du mit Hilfe einer senkrechten Geraden testen, ob der Graph (in unserem Beispiel Blau) überhaupt eine Funktion darstellt. Stell dir eine Parallele zur y-Achse vor und klicke oben einfach auf G Vertikal. Wenn diese Gerade den Graphen bei jedem x-Wert nur in genau einem Punkt schneidet, gehört der Graph zu einer Funktion. Wenn der Graph den Test nicht besteht, stellt er auch keine Funktion dar.
Besteht unser Graph den Test?
Nun testen wir, ob unsere Funktion auch eine Umkehrfunktion besitzt, ob die Umkehrzuordnung auch wieder eine Funktion ist. Dazu prüfen wir wieder den blauen Graphen aber dieses Mal mit einer waagerechten Gerade. Klicke dafür oben auf das Kästchen G Horizontal.
Wird unsere Funktion auch diesen Test bestehen?
Wenn ja, wissen wir nun, dass diese Funktion eine Umkehrfunktion hat. Aber wie finden wir sie?
Wir können das rechnerisch mit ein paar einfachen Schritten lösen.
Was finden wir mit G Vertikal heraus, wenn wir den blauen Graphen testen?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Man findet heraus, ob der blaue Graph eine Funktion ist.
Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte (Gerade färbt sich rot), dann liegt keine eindeutige Zuordnung vor (ein x-Wert hat mehrere y-Werte).
Was finden wir mit G Horizontal heraus, wenn wir den blauen Graphen testen?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Man findet heraus, ob der blaue Graph eine Umkehrfunktion besitzt.
Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte (Gerade färbt sich rot), dann liegt keine eindeutige Umkehrzuordnung vor (ein y-Wert hat mehrere x-Werte).
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All changes saved
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