Funktion - Grundlagen
Was ist eine Funktion genau? Klärung des Funktionsbegriffs.
Table of Contents
- Grundlagen
- Kennzeichen von Funktionen
- Kennzeichen von Funktionen
- Funktion und ihre Darstellungen
- Was kennzeichnet eine Funktion?
- Die Funktion als Rechenmaschine
- Was ist eine Funktion? - Einfach erklärt
- Umkehrfunktion
- Umkehrfunktion
- Was ist eine Umkehrfunktion?
- Umkehrfunktion testen
Kennzeichen von Funktionen
An jedem Tag kann nur [color=#ff0000][b][u]eine[/u][/b] [/color]Höchsttemperatur erreicht werden, aber nicht jede Höchsttemperatur wurde an einem Tag erreicht.[br][br]An zwei verschiedenen Tagen kann der gleiche Tageshöchstwert erreicht werden, aber zwei verschiedene Höchstwerte kann es an einem Tag [color=#ff0000][u][b]nicht[/b][/u] [/color]geben.[br][br]
Eine [b][color=#ff0000]Funktion[/color][/b] ist eine [b][color=#ff0000]eindeutige Zuordnung[/color][/b].[br]Jedem Tag ist eindeutig ein Tageshöchstwert zugeordnet. Jedem [color=#ff0000][b]x-Wert[/b][/color] wird genau ein [b][color=#ff0000]y-Wert [/color][/b]zugeordnet.[br]Gilt auch die Umkehrung?
Aufgabe:
Zeichne eine beliebige Funktion in das Koordinatensystem.
Umkehrfunktion
Was ist nun eine Umkehrfunktion?
Wir erinnern uns: Bei einer Funktion f(x) wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. [br][list][*]Anders ausgedrückt: Bei einer Umkehrfunktion werden die x- und[br]y-Werte der Ausgangsfunktion vertauscht. [/*][*]Einfach gesagt dreht eine Umkehrfunktion die ursprüngliche[br]Funktion um. [/*][/list]
Anleitung
[b]Bei Punkten[/b] ist so eine Umkehrung ganz simpel: [br]Du vertauscht einfach die x- und y-Koordinaten. Ist beispielsweise der[br]Punkt [color=#0000ff]P(5|3)[/color], gegeben, hat die Umkehrung die Koordinaten[color=#ff00ff] P[math]^{-1}[/math][/color][color=#ff00ff][code][/code](3|5)[/color].[br]Ganz leicht, oder? Bewege die beiden [color=#0000ff][b]blauen Punkte[/b][/color] an einen beliebigen Punkt und berechne jeweils die Umkehrung. Korrigiere danach deine Lösung mit den beiden Kästchen unten (Punkt A,B spiegeln).
[b]Die Umkehrzuordnung[/b] zu ermitteln ist auch nur ein klein wenig komplizierter. [br]Zuerst solltest du mit Hilfe einer senkrechten [color=#38761d][b]Geraden[/b] [/color]testen, ob der Graph [color=#0000ff][b](in unserem Beispiel Blau)[/b][/color] überhaupt eine Funktion darstellt. Stell dir eine Parallele zur y-Achse vor und klicke oben einfach auf [b][color=#38761d]G Vertikal[/color][/b]. Wenn diese Gerade den Graphen bei jedem x-Wert nur in genau einem Punkt schneidet, gehört der Graph zu einer Funktion. Wenn der Graph den Test nicht besteht, stellt er auch keine Funktion dar. [br][br]Besteht [color=#0000ff][b]unser Graph[/b][/color] den Test? [br][br]Nun testen wir, ob unsere [b]Funktion[/b] auch eine Umkehrfunktion besitzt, ob die Umkehrzuordnung auch wieder eine Funktion ist. Dazu prüfen wir wieder den [color=#0000ff][b]blauen Graphen[/b][/color] aber dieses Mal mit einer waagerechten [color=#bf9000][b]Gerade[/b][/color]. Klicke dafür oben auf das Kästchen [color=#bf9000][b]G Horizontal[/b][/color]. [br][br]Wird [color=#0000ff][b]unsere Funktion[/b][/color] auch diesen Test bestehen?[br][br] Wenn ja, wissen wir nun, dass diese Funktion eine Umkehrfunktion hat. Aber wie finden wir sie? [br]Wir können das rechnerisch mit ein paar einfachen Schritten lösen.
Was finden wir mit [b][color=#38761d]G Vertikal [/color][/b]heraus, wenn wir den [b][color=#0000ff]blauen Graphen[/color][/b] testen?
Was finden wir mit [b][color=#bf9000]G Horizontal [/color][/b]heraus, wenn wir den [b][color=#0000ff]blauen Graphen[/color][/b] testen?