[br]Die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel finden wir durch eine "[b]Näherung[/b]" (oder "Grenzwertbetrachtung").[br][b]Näherung [/b]bedeutet: je feiner man die Unterteilung (siehe Bild) wählt, desto [b]näher [/b]kommt man der wirklichen Oberfläche.

[list][*]Wir unterteilen die Oberfläche und erhalten viele [b][color=#ff00ff]Schnittpunkte[/color][/b].[/*][*]Wir verbinden die [color=#ff00ff]Schnittpunkte [/color]mit dem [b][color=#ff7700]Mittelpunkt M[/color][/b] der Kugel und erhalten viele [color=#0000ff][b]Pyramiden[/b][/color].[br][/*][*][i](Denke dir alle Teilflächen mit M verbunden - es entstehen [i]viele Pyramiden[/i])[/i][br][/*][*]Die [color=#38761D][b]Grundflächen [/b][/color]der Pyramiden sind Trapeze (oder Dreiecke).[br][/*][*]Alle [b][color=#38761D]Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] [/color][/b]zusammen, ergeben näherungsweise die Oberfläche der Kugel.[br][/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind näherungsweise gleich dem Kugelradius r![/*][*][b][i](Je feiner die Unterteilung, desto besser die Näherung!)[/i] [/b][/*][/list]

[list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot A_1\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_2\cdot h+\frac{1}{3}\cdot A_3\cdot h+...+\frac{1}{3}\cdot A_n\cdot h[/math][/*][/list][br][list][*]A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ausklammern: [math]V_{Pyramiden}=\frac{1}{3}\cdot\left(A_1+A_2+A_3+...+A_n\right)\cdot h[/math] [br][/*][/list][br][list][*]Die Summe aller Pyramidenvolumen ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelvolumen V[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Summe aller Grundflächen A[sub]1[/sub] bis A[sub]n[/sub] ist [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Oberflächeninhalt O[sub]Kugel[/sub].[/*][*]Die Pyramidenhöhen h sind [i][b]näherungsweise [/b][/i]gleich dem Kugelradius r. [br][/*][/list][br][list][*]also: [math]V_{Kugel}=\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r[/math][/*][*]das Kugelvolumen kennen wir bereits: [math]V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][*]also: [math]\frac{1}{3}\cdot O_{Kugel}\cdot r=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot\pi[/math][/*][/list][br][list][*][i]"r und 3 kürzen":[/i] [math]O_{Kugel}=4\cdot r^2\cdot\pi[/math][/*][/list]