Im vorangehenden Kapitel haben wir die [b][color=#980000]Zwei-Punkte-Darstellung[/color][/b] einer Geraden im dreidimensionalen Raum erarbeitet. Die Gleichung einer Geraden, die durch die beiden Punkte [math]\mathbf{A}[/math] und [math]\mathbf{B}[/math] verläuft, ist:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{g: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB}}\]}}[/math][br][br]Manchmal sind auch nur ein [b][color=#980000]Stützpunkt[/color][/b] [math]\mathbf{S}[/math] für die Gerade und ein [b][color=#980000]Richtungsvektor[/color][/b] [math]\vec{v}[/math] bekannt. Auch damit lässt sich eine Geradengleichung in der [color=#980000][b]Punkt-Richtungs-Darstellung[/b][/color] erstellen:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{g: \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OS}+ t\cdot \vec v}\]}}[/math][br][br]Im folgenden Applet kann geübt werden, eine Geradengleichung aus zwei Punkten zu erstellen. Wenn nach dem Drücken auf dem "Prüfen"-Knopf alles [color=#45818e]grün[/color] ist, dann sind alle Werte richtig. Wenn der Stütz- oder der Richtungsvektor nicht richtig sind, dann werden Sie nach dem Knopfdruck [color=#cc0000]rot[/color].

1Ist eine Geradengleichung gegeben, dann kann man mit einer [b][color=#980000]Punktprobe [/color][/b]überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt oder nicht.[br][br]Ist der Punkt [math]\mathbf{P}[/math] gegeben, und lautet die Geradengleichung [math]g: \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{SX}+t\cdot \vec v[/math], dann liegt der Punkt [math]\mathbf{P}[/math] genau dann auf der Geraden [math]g[/math], wenn [br][math]\overrightarrow{O\mathbf P}= \overrightarrow{SX}+t\cdot \vec v[/math][br]in allen Koordinaten eine richtige Aussage ergibt. [br][br]Beispiele:[br]Gegeben ist die Geradengleichung [math]g: \overrightarrow{OX}= \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}[/math] [br]Außerdem sind die Punkte [math]\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 \vert 2\vert 3\end{pmatrix}[/math] und [math]\mathbf{B}=\begin{pmatrix}5 \vert 2\vert 1\end{pmatrix}[/math] gegeben.[br][br]Liegt [math]\mathbf{A}[/math] auf der Geraden [math]g[/math]?[br] [math]\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\overset{?}{=} \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}[/math] [br]Aus der [math]x[/math]-Koordinate folgt: [math]1=1+t\cdot 2\Rightarrow t=0[/math][br]Aus der [math]y[/math]-Koordinate folgt: [math]2=0+t\cdot 1\Rightarrow t=2[/math] ???[br]Hier ist ein [b]Widerspruch[/b], denn das [math]\fgcolor{#990000}t[/math] [color=#980000]muss für alle drei Koordinaten gleich[/color] sein. Der Punkt [math]\mathbf{A}[/math] liegt daher nicht auf der Geraden [math]g[/math].[br][br]Liegt [math]\mathbf{B}[/math] auf der Geraden [math]g[/math]?[br] [math]\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\overset{?}{=} \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}[/math] [br]Aus der [math]x[/math]-Koordinate folgt: [math]5=1+t\cdot 2 \Rightarrow t=2[/math][br]Aus der [math]y[/math]-Koordinate folgt: [math]2=0+t\cdot 1 \Rightarrow t=2[/math][br]Aus der [math]z[/math]-Koordinate folgt: [math]1=5+t\cdot (-2) \Rightarrow t=2[/math][br][br]In diesem Fall gibt es ein [math]t[/math], für das gilt [math]\overrightarrow{O\mathbf P}= \overrightarrow{SX}+t\cdot \vec v[/math]:[br][math]\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}[/math] [br]Daher liegt der Punkt [math]\mathbf{B}[/math] auf der Geraden [math]g[/math].