"Wenn ich meinen x-Wert um ein Stück dx erhöhe, dann verändert sich auch mein Funktionswert f(x). Die Stärke der Veränderung hängt von der Ableitung ab."

a) Überprüfe diese Aussage mithilfe der Simulation.[br]b) Es ist [math]f\left(x\right)=x^2[/math]. Berechne f'(x).[br]c) Berechne die Veränderung dy an den Stellen x=2, x=4, x=6 und x=8. (Wir nehmen immer dx=1.) Überprüfe deine Ergebnisse mithilfe der Simulation. [url=https://quicklatex.com/cache3/c8/ql_13eaf956f67bc109f5dfb26f363db1c8_l3.png]Tipp[/url]

Ein Produkt von zwei Zahlen kann man sich immer als Flächeninhalt eines Rechtecks vorstellen. Bei einem Produkt [math]f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)[/math] von zwei Funktionen ist dann jede der Funktionen (also [math]u\left(x\right)[/math] und [math]v\left(x\right)[/math]) eine Seitenlänge des Rechteckes.

Wenn sich nun x verändert, verändern sich sowohl g(x) als auch h(x) (entsprechend ihrer Ableitung). Die Veränderung von f(x) erkennst du an den 3 roten Flächen in der Simulation.

a) Schätze die Veränderung [math]f'\left(x\right)[/math] ab, indem du einen Term für alle 3 roten Flächen aufstellst und diese addierst. [url=https://quicklatex.com/cache3/47/ql_8b0c989fbbff25358c544be3e0ba0a47_l3.png]Kontrollergebnis[/url][br]b) Um die tatsächliche Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] zu bekommen, muss man die Veränderung von x immer kleiner werden lassen. Damit wird eines der roten Rechtecke so klein, dass wir es weglassen müssen. Bestimme die korrekte Ableitung als die Fläche der beiden übrigen Rechtecke. [url=https://quicklatex.com/cache3/a4/ql_9cc4a8cbd228b532846a2f927e02aaa4_l3.png]Kontrollergebnis[br][/url]c) Formuliere die allgemeine Produktregel, indem du in deinem Ergebnis die einzelnen Terme durch die Elemente [math]u\left(x\right)[/math], [math]u'\left(x\right)[/math], [math]v\left(x\right)[/math] und [math]v'\left(x\right)[/math] ersetzt. [url=https://quicklatex.com/cache3/11/ql_fca9374009fbde3ebe29a50a93d28d11_l3.png]Tipp[/url]

Bearbeite die Aufgabe [url=https://learningapps.org/14507299]https://learningapps.org/14507299[/url].[br]Notiere dazu zu jeder Funktion zunächst u(x) und v(x), berechne [math]u'\left(x\right)[/math] und [math]v'\left(x\right)[/math] und stelle dann [math]f'\left(x\right)[/math] zusammen.