Aus der Physik: Solange ein Fußball nicht zu schnell geschossen wird, d.h. nicht schneller als ca. [math]\textstyle 60 \frac{km}{h}[/math], lässt sich seine Flugbahn sehr gut mit der sogenannten Wurfparabel beschreiben. Die Funktionswerte der Wurfparabel beschreiben die Höhe des Balles über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Flugweite:[br][br][math]h(x)=-\frac{g}{2\cdot (\cos(\alpha))^2\cdot v^2}\cdot x^2 + \tan(\alpha)\cdot x+h_0[/math][br][br]Dabei ist[br][list][*][math]g[/math] die Erdbeschleunigung [math]\textstyle g = 9,81\,\frac{m}{s^2}[/math][/*][*][math]\alpha[/math] ist der Abwurfwinkel. Für eine optimale Weite ist der Abwurfwinkel [math]\alpha=45^{\circ}[/math]. Damit sind [math](\cos(45 ^{\circ}))^2=\frac 12 [/math] und [math]\tan(45 ^{\circ} )=1[/math][/*][*][math]v[/math] ist die Abschussgeschwindigkeit. Da wir Schüsse mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten untersuchen wollen, bleibt [math]v[/math] als Buchstabe in der Gleichung stehen. Dies ist nun unser [b][color=#980000]Scharparameter[/color][/b]. Weil wir die Geschwindigkeiten in der Einheit [math]\textstyle \frac{km}{h}[/math] einsetzen wollen, müssen wir noch [math]v[/math] durch [math]\left(\frac{v}{3,6}\right)[/math] ersetzen [/*][*][math]h_0[/math] ist die Abwurfhöhe. Da der Fußball vor dem Schuss am Boden liegt, können wir [math]h_0=0\, m[/math] setzen[/*][/list][br][br]Wenn wir all die Zahlen einsetzen, erhalten wir die Funktionenschar für die Flugbahn eines Fußballs:[br][math] h_v(x)=-\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{2\cdot \frac 12\cdot \left(\frac{v}{3,6}\right)^2}\cdot x^2 + 1\cdot x + 0 [/math][br]Lassen wir im Weiteren alle Einheiten weg und rechnen die Zahlen zusammen, so wird daraus die Gleichung[br][br][math]\textstyle h_v(x)=-\frac{127,1376}{v^2}\cdot x^2 + x [/math][br]Das runden wir auf drei signifikante Stellen und erhalten für die [b]Flugbahn eines Fußballs[/b]:[br][br][math]\Large{\boxed{\textstyle h_v(x)=-\frac{127}{v^2}\cdot x^2 + x }}[/math][br][br]In dieser Gleichung sind also die Höhe [math]h[/math] und die Weite [math]x[/math] jeweils in Metern angegeben, und die Geschwindigkeit [math]v[/math] in Kilometer pro Stunde.[br][br]Im Geogebra-Applet unten kann man mit dem Schieberegler den [b][color=#980000]Scharparameter[/color][/b], also die Abschussgeschwindigkeit des Balles, verändern und dabei beobachten, wie sich die Flugbahn verändert.

Mit der oben stehenden Funktionenschar können Fragen beantwortet werden wie:[br][list][*]Wie weit fliegt der Ball, wenn die Abschussgeschwindigkeit [math]\textstyle v = 20\frac{km}{h}[/math] beträgt?[/*][*]Wie weit fliegt er, wenn sich die Abschussgeschwindigkeit verdoppelt?[/*][*]Welches ist die größte Höhe, die der Ball erreicht?[/*][*]und so weiter[/*][/list]Nun können also Rechnungen für alle möglichen Geschwindigkeiten durchgeführt werden:

Die Flugweite des Balles ist mathematisch gesehen die zweite Nullstelle der Flugbahn.[br]Wenn man das erkannt hat, dann ist die Aufgabe also nur noch die Nullstellen der Flugbahn[br][math] h_v(x)=-\frac{127}{v^2}\cdot x^2 + x [/math][br]zu berechnen.[br][br]Dazu muss die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden:[br][math] 0=-\frac{127}{v^2}\cdot x^2 + x [/math][br]Nun kann man ein [math]x[/math] ausklammern:[br][math] 0=x\cdot \left(-\frac{127}{v^2}\cdot x + 1\right) [/math][br][b][color=#980000][br]Scharparameter werden in den Rechnungen so behandelt, als wäre es einfache Zahlen.[/color][/b][br][br]Nun können wir den [size=150][color=#45818e][b]Satz vom Nullprodukt[/b][/color] [/size]anwenden:[br][quote][color=#45818e][size=150]Ein Produkt [math]\fgcolor{#45818e}{\Large P=a\cdot b\cdot c ...}[/math] ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren [math]\fgcolor{#45818e}{\Large a}[/math], [math]\fgcolor{#45818e}{\Large b}[/math] bzw. [math]\fgcolor{#45818e}{\Large c}[/math] gleich Null ist.[/size][/color][/quote]Die Gleichung [math] 0=x\cdot \left(-\frac{127}{v^2}\cdot x + 1\right) [/math] besteht aus den Faktoren [math]x[/math] und [math]\left(-\frac{127}{v^2}\cdot x+1\right)[/math]. Laut dem Satz vom Nullprodukt, ist die Gleichung [math] 0=x\cdot \left(-\frac{127}{v^2}\cdot x + 1\right) [/math] also dann erfüllt, wenn entweder [math]x=0[/math] ist oder wenn [math]\left(-\frac{127}{v^2}\cdot x+1\right)=0[/math] ist. Die erste Gleichung beschreibt den Abschusspunkt und die Lösung der zweiten Gleichung ist die gesuchte Weite des Schusses: [br][math]-\frac{127}{v^2}\cdot x+1=0\quad \big\vert -1[/math][br][math]\Rightarrow -\frac{127}{v^2}\cdot x=-1\quad \big\vert \cdot \left(-\frac{v^2}{127}\right) [/math][br][math]x=-1\cdot\left(-\frac{v^2}{127}\right)[/math][br][math]\Rightarrow \underline{\underline{x=\frac{v^2}{127}}}[/math][br][br]Dieses ist also [color=#980000][b]die Flugweite des Balles in Abhängigkeit von der Abschussgeschwindigkeit[/b][/color] [math]v[/math], wenn der Ball in einem Winkel von [math]\alpha=45^{\circ}[/math] abgeschossen wird. [br][br]Man kann in der Gleichung an dem Quadrat am [math]v[/math] erkennen, dass eine Verdopplung der Geschwindigkeit zu einer Vervierfachung der Flugweite führt, probieren Sie es aus.