[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion an an[math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math]. Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [center] [math]\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}[/math] existiert.[/center]Dieser Grenzwert heißt [b]Differentialquotient [/b]von f an der Stelle x[sub]0[/sub] oder [b]Ableitung [/b]von f an der Stelle x[sub]0[/sub] und wird mit [math]\frac{df}{dx}\left(x_0\right)[/math] oder [b]f'(x[sub]0[/sub])[/b] bezeichnet.[br][br][i]Andere Schreibweisen:[/i] [math]\lim_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math] oder [math]\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math][br][br]Diese Definition beinhaltet sowohl den [b]rechtsseitigen [/b]als auch den [b]linksseitigen Grenzwert[/b] für den [b]Differentialquotient [/b][br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Untersuche, ob der [b]rechtsseitige [/b]und der [b]linksseitige Grenzwert[/b] für den [b]Differentialquotienten [/b]der gegebenen Funktion an verschiedenen Stellen übereinstimmen.[br]Verkleinere dazu Δx, wenn du dich von der positiven Seite 0 näherst und vergrößere Δx, wenn du dich von der negativen Seite 0 näherst.[br]Untersuche den rechts- und den linksseitigen Grenzwert für die Funktion[br][list][*] [math]f\left(x\right)= sin\left(x\right)[/math] an der Stelle x[sub]0[/sub] = 0,[/*][*] [math]f\left(x\right)=\left|sin\left(x\right)\right|[/math] an der Stelle x[sub]0[/sub] = 0.[/*][*][math]f\left(x\right)=Wenn\left(x<1, 0.5x^{2}, 0.5x^3\right)[/math] an der Stelle x[sub]0[/sub] = 1[/*][/list][i]Hinweis:[br]|sin(x)| = abs(sin(x)). [br]Verwende die Pfeiltasten ◀ und ▶ der Tastatur, um Δx genauer einstellen zu können.[/i]