En [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica]matemáticas[/url], la [b]derivada parcial[/b] de una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica]función[/url] de varias variables es la [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada]derivada[/url] con respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son usadas en [url=https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial]cálculo vectorial[/url] y [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial]geometría diferencial[/url]. La derivada parcial de una función f(x,y,…)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d0223679fa6d5d1f14842ff102708873ec6ed0[/img] con respecto a la variable [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4[/img] se puede denotar de distintas maneras:[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7349ff4d45d25b0f7596785060a287589f07e4dd[/img]Donde ∂[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b4e7c1cedb9564609aefd2aa2309972f455c24[/img] es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9604a8ff646d98e34be573850c9a9b088b65411d[/img] que es la primera derivada respecto a la variable 1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308[/img] y así sucesivamente.[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#cite_note-1]1[/url][/sup] Uno de los primeros usos conocidos de este símbolo en matemáticas es por el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Marqu%C3%A9s_de_Condorcet]Marqués de Condorcet[/url] de 1770, quien lo usó para [url=https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_diferencias_parciales&action=edit&redlink=1]diferencias parciales[/url]. La notación moderna de derivadas parciales fue creada por [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre]Adrien-Marie Legendre[/url] (1786), aunque más tarde la abandonó; [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi]Carl Gustav Jacob Jacobi[/url] reintrodujo el símbolo en 1841.[sup][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial#cite_note-jeff_earliest-2]2[/url][/sup]Cuando una magnitud [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3[/img] es función de diversas [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1tica)]variables[/url] ),...[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb811b19531a21464b054a52e6fed4e64d8425b[/img]), es decir:[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92aeb91a0da6783eb9ed2a65342f71cce4d8c750[/img]Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3[/img] en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función .Analíticamente el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente]gradiente[/url] de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función .Suponga que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] es una función de más de una variable, esto es, suponga que [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] está dada por)=2[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e5588f8dbc9b41c07d4457e33dd7a84b8e8b26[/img]La [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n]gráfica[/url] de esta función define una [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)]superficie[/url] en el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo]espacio euclidiano[/url]. Para cada punto en esta superficie, hay un número infinito de líneas tangentes. La gráfica de 2[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99de3d3768474d27b24265349943dc3fc13c8eac[/img].La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97005bee6e83614cf6ce64d4e68e5ab2ac280709[/img] y aquellas que son paralelas al plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c7cbe4344a9d72acfc98a97e2b3ec44bb48d1f[/img].[url=https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:X2%2Bx%2B1.png][img width=300,height=225]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/X2%2Bx%2B1.png/300px-X2%2Bx%2B1.png[/img][/url]Parte de la gráfica en el plano [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97005bee6e83614cf6ce64d4e68e5ab2ac280709[/img], en =1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f53b404b1fdd041a589f1f2425e45a2edba110[/img]. La pendiente de la recta tangente es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img].Para encontrar la pendiente de la línea tangente de la función en (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7c2b3b683e3361fd44535c424eeb942aabfc3c[/img] que es paralela al plano , consideramos a la variable [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d[/img] como constante. La gráfica de la función y este plano se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función en el plano =1[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f53b404b1fdd041a589f1f2425e45a2edba110[/img]. Encontremos la pendiente de [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] en el punto [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386[/img] derivando la función [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61[/img] considerando a [img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d[/img] como constante:∂∂=2Por lo que en el punto (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23[/img] (reemplazando en la derivada) la pendiente es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img]. Esto es, la derivada parcial de f con respecto a en el punto (1,1)[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a42feb07f4139bf871ae6856b11d4567bea23[/img] es 3[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f[/img],