Sie legen einen Euro an bei einer Bank, die Ihnen großzügigerweise 100 % p.a. ([i]per annum[/i], pro Jahr) Zinsen gewährt.[br][list=1][*]Wie viel Guthaben haben Sie nach einem Jahr?[/*][*]Eine zweite Bank bietet an, die Zinsen zweimal im Jahr abzurechnen. Das heißt aus[br][math]1€\cdot\left(1+100\%\right)^1=1€\cdot\left(1+1\right)^1[/math][br]wird[br][math]1€\cdot\left(1+50\%\right)^2=1€\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)^2[/math][br](Die 100 % Zinsen pro Jahr werden auf zweimal 50 % aufgeteilt.) [br]Wie viel Guthaben haben Sie nach einem Jahr bei der zweiten Bank?[/*][*]Eine dritte Bank bietet an, dass Sie den Abrechnungszeitraum frei wählen dürfen, d.h. bei [i]n [/i]Abrechnungszeiträumen in einem Jahr lässt sich der Geldwert [i]G[/i]([i]n[/i]) wie folgt berechnen:[br][math]G\left(n\right)=1€\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math][br]Bestimmen Sie durch geschickte Wahl des Abrechnungszeitraums den maximal möglichen Geldbetrag auf möglichst viele Nachkommastellen genau.[/*][/list]

Die sogenannte Fakultät [i]n[/i]! einer natürlichen Zahl [i]n[/i] stellt die Kurzform des Produkts aller natürlichen Zahlen von 1 bis [i]n[/i] dar:[br][math]n!=1\cdot2\cdot3\cdot\cdot\cdot\left(n-2\right)\cdot\left(n-1\right)\cdot n[/math][br]Beispiel: [math]7!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7=5040[/math][br][br]Untersucht werden soll die Summe[br][math]\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...[/math]

Untersuchen Sie, für welche rechte Grenze die Fläche unter der Hyperbel 1. Ordnung ([math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]) exakt den Flächeninhalt 1 annimmt. Auf der linken Seite soll die Fläche bei [i]x[/i]=1 beginnen.[br]Tipp: Benutzen Sie hierzu das folgende Applet; stellen Sie sukzessive die Genauigkeit des Schiebereglers höher.

Gesucht ist diejenige positive Zahl [i]x[/i], deren [i]x[/i]-te Wurzel [math]\sqrt[x]{x}[/math] den größtmöglichen Wert annimmt.

Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen [b]Münzwurf [/b](Wappen oder Zahl) keine (!) Zahl zu erhalten, sondern zweimal Wappen, ist[br][math]P_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/math][br][br]Ähnlich ist die Wahrscheinlichkeit, beim [b]Würfeln [/b]mit sechs Würfeln keine Sechs zu erhalten[br][math]P_4=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^6=0,3348979767...[/math][br][br]Und beim [b]Roulette [/b]ist die Wahrscheinlichkeit, bei 37 Versuchen kein einziges Mal eine der 37 Zahlen richtig zu erraten[br][math]P_{37}=\left(\frac{36}{37}\right)^{37}=\text{0,3628513456}...[/math][br][br]Die allgemeine Formel für [i]n[/i] Versuche bei [i]n[/i] Möglichkeiten lautet:[br][math]P_n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/math][br][br]Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein möglichst großes [i]n[/i] und bilden Sie dann den Kehrwert dieser Wahrscheinlichkeit. Der Kehrwert ist Ihre gesuchte Zahl.