[br]Wenn [math]n[/math][b] gerade [/b]ist, so gilt:[br][list][*]Definitionsmenge: [math]D=\mathbb{R}[/math][/*][*]Wertemenge: [math]W=\mathbb{R}_0^+[/math] [br](Der Graph verläuft oberhalb der [math]x[/math]-Achse, d. h. [math]y=f\left(x\right)\ge0[/math].)[/*][/list][br]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so gilt:[br][list][*]Definitionsmenge: [math]D=\mathbb{R}[/math][/*][*]Wertemenge: [math]W=\mathbb{R}[/math][br](Für [math]x>0[/math] verläuft der Graph oberhalb der [math]x[/math]-Achse, d. h. [math]y=f\left(x\right)>0[/math] und[br] für [math]x<0[/math] verläuft der Graph unterhalb der [math]x[/math]-Achse, d. h. [math]y=f\left(x\right)<0[/math].)[br][/*][/list]

[br]Nullstelle: [math]N\left(0\mid0\right)[/math][br][list][*]Wenn [math]n[/math] [b]gerade [/b]ist, so [b]berührt [/b]der Graph die [math]x[/math]-Achse.[br](Sowohl links als auch rechts von der [math]y[/math]-Achse verläuft der Graph oberhalb der [math]x[/math]-Achse.)[/*][*]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so [b]schneidet [/b]der Graph die [math]x[/math]-Achse.[br](Der Graph kreuzt die [math]x[/math]-Achse, d. h. der Graph verläuft von unten (für [math]x<0[/math]) nach oben (für [math]x>0[/math]).)[/*][/list][br]gemeinsame Punkte:[br][list][*]Wenn [math]n[/math] [b]gerade [/b]ist, so gilt: [br][math]f\left(1\right)=1^n=1\Rightarrow P\left(1\mid1\right)[/math] und [math]f\left(-1\right)=\left(-1\right)^n=1\Rightarrow Q\left(-1\mid1\right)[/math][/*][*]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so gilt:[br][math]f\left(1\right)=1^n=1\Rightarrow P\left(1\mid1\right)[/math] und [math]f\left(-1\right)=\left(-1\right)^n=-1\Rightarrow Q\left(-1\mid-1\right)[/math][br][/*][/list][math][/math][math][/math]

[br][list][*]Wenn [math]n[/math] [b]gerade [/b]ist, so ist der Graph achsensymmetrisch zur [math]y[/math]-Achse.[/*][*]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung [math]\left(0\mid0\right)[/math].[/*][/list][br]Dies erkennt man auch am Funktionsterm:[br]Setze in den Funktionsterm [math]f\left(x\right)=x^n[/math] die Gegenzahl [math]-x[/math] (statt die Zahl [math]x[/math]) ein.[br][list][*]Wenn [math]n[/math] [b]gerade [/b]ist, so stimmen die Funktionswerte "rechts und links von der [math]y[/math]-Achse" überein.[br][math]f\left(-x\right)=\left(-x\right)^n=x^n=f\left(x\right)[/math], falls [math]n\in\left\{2;4;6;8;...\right\}[/math][/*][*]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so haben die Funktionswerte denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen.[br][math]f\left(-x\right)=\left(-x\right)^n=-x^n=-f\left(x\right)[/math], falls [math]n\in\left\{1;3;5;7;9;...\right\}[/math][br][/*][/list]

[br]Wenn [math]n[/math] [b]gerade [/b]ist, so [br][list][*]fällt der Graph streng monoton für [math]x<0[/math] und[/*][*]steigt der Graph streng monoton für [math]x>0[/math].[br][/*][/list][br]Wenn [math]n[/math] [b]ungerade [/b]ist, so[br][list][*]steigt der Graph monoton für [math]x\in\mathbb{R}[/math].[/*][/list][br][u]Beachte:[br][/u]Wenn der Graph (bei [math]x=0[/math]) kurz waagrecht verläuft, dann spricht man von Monotonie.[br]Wenn der Graph in einem Intervall niemals waagrecht verläuft, dann spricht man von "strenger" Monotonie.