De cosinusregel voor a² is a² = b² + c² - 2bc.[math]cos\alpha[/math].[br]Bereken ook hieruit sin²α.[br]Gebruik de grondformule van de goniometrie.
[math]a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha[/math][br][math]2bcos\alpha=a^2-b^2-c^2[/math][br][math]cos\alpha=\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}[/math][br]we weten [math]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/math][br]dus [math]sin^2\alpha=1-\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}\right)^{^2}[/math][br]We vereenvoudigen deze uitdrukking:[br][math]sin^2\alpha=\frac{4b^2c^2-\left(a^2-b^2-c^2\right)}{4b^2c^2}^{^2}[/math][br]Je herkent in de teller van het RL het verschil van twee kwadraten (p+q).(p-q) = p² - q²[br][math]sin^2\alpha=\frac{\left(2bc+a^2-b^2-c^2\right).\left(2bc-a^2+b^2+c^2\right)}{4b^2c^2}[/math][br]Je herkent in de teller van het RL het kwadraat van een tweeterm (p[math]\pm[/math]q)²=p²+q²[math]\pm[/math]2pq[br]"2bc - b² - c²" = - (b - c)² en "2bc + b² + c²" = (b + c)²[br][math]sin^2\alpha=\frac{\left(a^2-\left(b-c\right)^2\right)\cdot\left(\left(b+c\right)^2-a^2\right)}{4b^2c^2}[/math][br]Je herkent in de teller nu opnieuw het verschil van twee kwadraten[br][math]sin^2\alpha=\frac{\left(a+b-c\right)\cdot\left(a-b+c\right)\cdot\left(b+c+a\right)\cdot\left(b+c-a\right)}{4b^2c^2}[/math][br]We zien veel combinaties van a, b en c. We verwerken de dubbele omtrek 2s in de formule.[br][math]sin^2\alpha=\frac{\left(2s-2c\right)\cdot\left(2s-2b\right)\cdot2s\cdot\left(2s-2a\right)}{4b^2c^2}[/math][br]We brengen de factor 2 bij de verschillende factoren naar voren en rangschikken de factoren op een andere manier.[br][math]sin^2\alpha=\frac{16s\cdot\left(s-a\right)\cdot\left(s-b\right)\cdot\left(s-c\right)}{4b^2c^2}[/math][br]dus[br][math]sin^2\alpha=\frac{4\cdot s\cdot\left(s-a\right)\cdot\left(s-b\right)\cdot\left(s-c\right)}{b^2c^2}[/math]