Para obtermos equações paramétricas para a Elipse [math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=1[/math], consideremos primeiro a seguinte construção auxiliar (altere o controle deslizante "ETAPA" para visualizar a construção):[br][list=1][*]Construir uma elipse na forma [math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=1[/math], e chamamos o centro desta elipse de [math]C[/math].[/*][*]Escolher um ponto [math]P=\left(x,y\right)[/math] sobre esta elipse.[/*][*]Construir circunferência [math]c[/math] de raio [math]a[/math] e centro [math]C=\left(x_0,y_0\right)[/math].[/*][*]Construir ponto [math]D=\left(x,y_0\right)[/math] onde [math]x[/math] é a primeira coordenada de [math]P[/math].[/*][*]Construir semireta [math]r[/math] que passa por [math]D[/math] e [math]P[/math].[/*][*]Encontrar [math]E=r\cap c[/math].[/*][*]Construir triângulo retângulo [math]CDE[/math].[/*][/list]

Chamemos de [math]\theta[/math] o ângulo interno do triângulo [math]CDE[/math] relativo ao vértice [math]C[/math]. Note que o cateto adjacente a [math]\theta[/math] tem medida [math]x[/math], enquanto a hipotenusa do triângulo tem medida [math]a[/math]. Assim:[br][center][math]\cos\theta=\frac{CA}{H}=\frac{x-x_0}{a}[/math].[/center]Ou ainda[br][center] [math]x=x_0+a\cos\left(\theta\right)[/math] .[/center][justify]Substituindo na equação da elipse temos que [br][br][math]\frac{\left(x_0+a\cos\left(\theta\right)-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=1\Longrightarrow\cos^2\left(\theta\right)+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=1\Longrightarrow\left(y-y_0\right)^2=b^2\left(1-\cos^2\left(\theta\right)\right)\Longrightarrow y=y_0+b\text{sen}\left(\theta\right)[/math].[br][br]Portanto a Elipse pode ser descrita pelas seguintes equações paramétricas:[br][math]x=x_0+a\cos\left(\theta\right)[/math][br][math]y=y_0+b\text{sen}\left(\theta\right)[/math][br][br]Observe que o ângulo [math]\theta[/math] é o parâmetro das equações tal que [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math]. Isto é, para cada valor de [math]\theta[/math] , obteremos diferentes pontos da Elipse. A construção abaixo ilustra esta forma de descrever a elipse (varie os valores de [math]\theta[/math]). [br][/justify]