[b][size=100][size=150][br]＜軌跡は点集合＞[/size][/size][/b][br][b][size=150]条件にあう点集合を軌跡という。[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）[/color]中心から一定の距離（ｒ）にある点集合は円。[br][color=#0000ff]（例）[/color]２定点ABから等しい距離にある点集合は、線分の垂直二等分線。[br][color=#0000ff]（例）[/color]２定直線から等しい距離にある点集合は、２直線が作る角の二等分線。[br][color=#0000ff]（例）[/color]２点からの距離の２乗差が一定の点集合は、直線。[br][color=#0000ff]（例）[/color]２点からの距離の２乗和が一定の点集合は、円。[br][color=#0000ff]（例）[/color]定点と定直線からの距離が一定の点集合は、放物線。[br]

座標を使うことで、条件を方程式に表すことができる。[br]ｋの恒等式にするにはｋを消去する。[br]＜ｋが任意の実数＞[br]（例）「２直線kx+2y+2k=0, 2x=kyの交点」の集合。[br]k(x+2)=-2y。k=2x/y。[br][math]\frac{2x}{y}\left(x+2\right)=-2y[/math],[math]2x\left(x+2\right)=-2y^2[/math],[math]x^2+2x+y^2=0[/math][br][math]\left(x+1\right)^2+y^2=1[/math]。中心（-1,0)で半径１の円。[br]（別解）２直線の傾きの積は[math]-\frac{2}{k}\cdot\frac{k}{2}=-1[/math]だから直交する。それぞの通過する定点はx+2=0とy=0の交点（-2,0）とx=0,y=0の交点(0,0）だから、この２定点を直径とする円が軌跡。[br]＜軌跡が直線になるもの＞[br]　[color=#0000ff](例）「[/color]定点O（0,0)、A(a,b)から等しい距離にある点」の集合。[br] 距離の２乗も等しいから、[math]x^2+y^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2[/math][br]　[math]ax-\frac{a^2}{2}+by-\frac{b^2}{2}=0[/math]から、[math]-a\left(x-\frac{a}{2}\right)=b\left(y-\frac{b}{2}\right)[/math]。[br]　[math]\left(y-\frac{b}{2}\right)=-\frac{a}{b}\left(x-\frac{a}{2}\right)[/math]。OAと垂直でOAの中点を通る。[br]　[color=#0000ff](例）「[/color]定点A（a,0)、B(b,0)から距離の２乗差がpの点P」の集合。[br]　AP[sup]2[/sup]-BP[sup]2[/sup]= [math]\left(x-a\right)^2+y^2-\left(x-b\right)^2-y^2=p[/math][br]　[math]2\left(b-a\right)x+a^2-b^2=p[/math]から、[math]x=\frac{p-a^2+b^2}{2\left(b-a\right)}=\frac{a^2-b^2-p}{2\left(a-b\right)}[/math]。ABと垂直。[br]＜軌跡が曲線になるもの＞[br]　[color=#0000ff](例）「[/color]定点A（a,0)、B(b,0)から距離の２乗和が(a-b)[sup]2[/sup]/2+2c[sup]2[/sup]の点P」の集合。[br]　AP[sup]2[/sup]-BP[sup]2[/sup]= [math]\left(x-a\right)^2+y^2+\left(x-b\right)^2+y^2=\frac{\left(a-b\right)^2+4c^2}{2}[/math][br]　[math]2x^2-2\left(a+b\right)x+a^2+b^2+2y^2=\frac{\left(a-b\right)^2+4c^2}{2}[/math]から、[br][math]x^2-\left(a+b\right)x+y^2=\frac{\left(a-b\right)^2+4c^2-2\left(a^2+b^2\right)}{4}[/math]。[math]\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+y^2=c^2[/math]。[br]中心がAとBの中点で、半径がcの円。[br][color=#0000ff][br]（例）「[/color]定点A(0,a)とx軸に平行な直線y-b=0から距離が等しい点」の集合。[br]　点P（ｘ，ｙ）からの距離の２乗が等しいとする。[br][math]x^2+\left(y-a\right)^2=\left(\frac{0\cdot x+1\cdot y-b}{\sqrt{0^2+1^2}}\right)^2[/math]。[math]x^2+\left(y-a\right)^2=\left(y-b\right)^2[/math]となる。[br][math]x^2+a^2-b^2=2\left(a-b\right)y[/math]から[math]y=\frac{1}{2\left(a-b\right)}x^2+\frac{a+b}{2}[/math]。[br]a=bのときは、直線ｙ＝ｂ。[br]その他で、Aと直線ｙ＝ｂまでの中点が頂点でｙ軸が軸の放物線。[br][u]Aを焦点、ｙ＝ｂを準線[/u][color=#0000ff]という。[br]（例）「[/color]２直線x-3y+1=0と3x-y-5=0の作る角を２等分する直線」は？[br]点P(x,y)から２直線におろした垂線の長さは等しい。[br][math]\left(\frac{\left|x-3y+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}\right)=\left(\frac{\left|3x-y-5\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\right)[/math]。だから、[math]x-3y+1=\pm\left(3x-y-5\right)[/math]となる。[br][math]x-3y+1-3x+y+5=-2y-2y+6=0[/math]からx+y-3=0[br][math]x-3y+1+3x-y-5=4x-4y-4=0[/math]からx-y-1=0[color=#0000ff][br]（例）「[/color]半径aで原点Oを通る円とx軸に平行な直線y=a+2に外接する円の中心P」の軌跡は？[br]　円の中心P（ｘ，ｙ）から原点の距離の２乗OP[sup]2[/sup]は、[br][math]x^2+y^2=\left(a+a+2-y\right)^2[/math]。[math]x^2=4\left(a+1\right)^2-4\left(a+1\right)y[/math]となる。[br]だから[math]y=\frac{-1}{4\left(a+1\right)}x^2+a+1[/math]。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「放物線y=x[sup]2[/sup]へ互いに垂直な２本の接線が引ける点P」の軌跡は？[br]　円の中心P（ｘ，ｙ）を通る傾きｍの直線Y=m(X-x)+y,は、放物線Y=X[sup]2[/sup]と接するからX[sup]2[/sup]=m(X-x)+y。[br] X[sup]2[/sup]-mX+mx-y=0　D=m[sup]2[/sup]-4(mx-y)=0,　m[sup]2[/sup]-4mx+4y=0　傾きmは２つ存在して、その積は-1。[br]　解と係数の関係から4y=-1。直線y=-1/4。

[b][size=150]＜アポロニウスの円＞[/size][/b][br]２点A(a,0),B(b,0)に対して、[color=#0000ff]AP:PB=m：n（ｍとｎが等しくない）[/color]の点集合。[br][math]n^2\left(\left(x-a\right)^2+y^2\right)=m^2\left(\left(x-b\right)^2+y^2\right)[/math][br][math]n^2\left(x-a\right)^2-m^2\left(x-b\right)^2+\left(n^2-m^2\right)y^2=0[/math][br][math]\left(n^2-m^2\right)x^2-2\left(an^{_{^2}}-bm^{_2}\right)x+n^2a^2-m^2b^2+\left(n^2-m^2\right)y^2=0[/math][br][math]x^2-2\frac{an^2-bm^2}{n^2-m^2}x+y^2+\frac{n^2a^2-m^2b^2}{n^2-m^2}=0[/math][br][math]\left(x-\frac{m^2b-n^2a}{m^2-n^2}\right)^2+y^2=\left(\frac{mn\left(a-b\right)}{m^2-n^2}\right)^2[/math]から、[br][color=#0000ff]AとBをm[sup]2[/sup]:n[sup]2[/sup]に外分する点Cを中心とする円[/color]になる。[br]Cから直線AB上で半径だけ増減した点のｘ座標を計算すると、[br][math]\frac{m^2b-n^2a}{m^2-n^2}+\frac{mn\left(a-b\right)}{m^2-n^2}=\frac{m\left(m-n\right)b+n\left(m-n\right)a}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}=\frac{mb+na}{m+n}[/math][br]（ABをm:nに内分する）[br][math]\frac{m^2b-n^2a}{m^2-n^2}-\frac{mn\left(a-b\right)}{m^2-n^2}=\frac{m\left(m+n\right)b-n\left(m+n\right)a}{\left(m+n\right)\left(m-n\right)}=\frac{mb-na}{m-n}[/math][br]（ABをm:nに外分する）[br]したがって、[color=#0000ff][u]ABをｍ：nに内分する点と外分する点を直径の両端[/u][/color]とする円。[br][br]（例）点Pから２円(x+1)[sup]2[/sup]+(y-1)[sup]2[/sup]=1,(x-2)[sup]2[/sup]+(y-4)[sup]2[/sup]=4への[br]接線の接点までの長さ比が１：２となる点。[br]　２円の中心Q(-1,1),R(2,4)、２円への接点をS,Tとする。[br]　三角形PQSと三角形PRTはともに直角三角形で対応辺が[br]１：２の[u]相似[/u]で、PQ:PR＝１：２となる。[br]　[color=#0000ff]２定点からの長さ比が一定の点集合はアポロニウスの円となる。[br]　[/color]QRを１：２に内分する点Lは[math]\left(\frac{1\cdot2+2\cdot-1}{1+2},\frac{1\cdot4+2\cdot1}{1+2}\right)=\left(0,2\right)[/math][br] QRを１：２に外分する点Nは[math]\left(\frac{1\cdot2-2\cdot-1}{1-2},\frac{1\cdot4-2\cdot1}{1-2}\right)=\left(-4,-2\right)[/math][br] LとNの中点M＝[math]\left(\frac{\left(0-4\right)}{2},\frac{\left(2-2\right)}{2}\right)=\left(-2,0\right)[/math]が中心。[br]　半径はLM=[math]\sqrt{\left(0+2\right)^2+\left(2-0\right)^2}=2\sqrt{2}[/math][br][br][b][size=150]＜相似形の作図＞[/size][/b][br]定点Aと図形F上の点Pがあるとき、APの中点Qの点集合は、[br]図形Fの２分の１の縮図になる。[br][b][size=150]＜反転図形＞[br][/size][/b]点Pが図形上の点のとき、定点Oからの半直線上の点P,QについてOP、OQの積が一定となる点QをPの反転図形という。たとえば、P(x,y)Q(X,Y)とするOP・OQ＝4とするときのP(x,y)をX,Yで表そう。[br]OP=tとすると、OQ=4/t。OP=(t；θ),OQ=(4/t ;θ)となる。(x,y)=(tcosθ,tsinθ),(X,Y)=(4/tcosθ,4/tsinθ)[br]cosθ=t/4･X、sinθ=t/4･Yだから、 (x,y)=(t[sup]2[/sup]/4･X,t[sup]2[/sup]/4･Y)。まだ、tが残っている。[br]また、X[sup]2[/sup]+Y[sup]2[/sup]=16/t[sup]2[/sup]だから、t[sup]2[/sup]=16/(X[sup]2[/sup]+Y[sup]2[/sup])。t[sup]2[/sup]/4=4/(X[sup]2[/sup]+Y[sup]2[/sup])。このt[sup]2[/sup]を代入しよう。[br]P(x,y)=[math]\left(\frac{4X}{X^2+Y^2},\frac{4Y}{X^2+Y^2}\right)[/math]。点Pが直線上2x+y=1を動くとき、[br]点Qは、2(4X)+4Y=(X[sup]2[/sup]+Y[sup]2[/sup])上、(X-4)[sup]2[/sup]+(Y-2)[sup]2[/sup]=20=(2√5)[sup]2[/sup]から中心（4,2)、半径2√5の円周上にある。