Bei den Sigmaregeln war eine Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] bekannt und wir haben mit Hilfe einer gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit berechnet, welche Messwerte, also welche relativen Häufigkeiten [math]h_n[/math], damit vereinbar sind. Bei den Vertrauensintervallen ist die Fragestellung umgekehrt:[br][br]Gegeben ist eine relative Häufigkeit [math]h_n[/math] aus einer statistischen Erhebung. Nun fragt man sich wieder unter der Bedingung einer gegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit: [b]In welchem Intervall wird wohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit [math]\mathbf{p}[/math] liegen?[/b][br][br][b][color=#980000]Vertrauens- oder Konfidenzintervalle erlauben den Rückschluss von dem Messwert aus einer Stichprobe auf die Gesamtheit.[/color][/b][br][br]Sehen wir uns ein Beispiel an: [br][br]Wahlforschung: Eine Befragung von [math]n[/math] Personen wird durchgeführt und [math]M[/math] Personen geben an, dass sie die Partei [b][i]MLH[/i][/b] (Partei der [b]M[/b]athematik[b]L[/b]ieb[b]H[/b]aber) tatsächlich wählen wollen. Nach unseren Überlegungen oben muss - mit Hilfe der Sigmaregeln - folgende Ungleichung für den Erwartungswert [math]\mu[/math], die Standardabweichung [math]\sigma[/math] und die Anzahl der günstigen Ereignisse [math]M[/math] gelten:[br][br][math]\mu-c\cdot\sigma\le M\le\mu+c\cdot\sigma[/math][br][br]D.h. der Erwartungswert [math]\mu[/math] sollte mit der durch das [math]c[/math] vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit in der [math]c[/math]-fachen Sigma-Umgebung um unseren Messwert [math]M[/math] herum liegen. Teilen wir diese Ungleichung durch [math]n[/math], dann erhalten wir mit [math]\mu=n\cdot p[/math], [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}[/math] und der relativen Häufigkeit [math]h_n=\frac{M}{n}[/math][br][br][math]p-c\cdot\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}{n}\le h_n\le p+c\cdot\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}{n}[/math][br][br]Da [math]n=\sqrt{n^2}[/math] ist, kann man mit [math]\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}{\sqrt {n^2}}=\sqrt{\frac{n\cdot p\cdot (1-p)}{n^2}}=\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}[/math] die Ungleichung auch so schreiben:[br][math]p-c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}\le h_n\le p+c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Wir ziehen von allen Gliedern dieser Ungleichung [math]p[/math] ab und erhalten:[br][math]-c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}\le h_n-p\le c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Und wenn nun alle Glieder dieser Ungleichung quadriert werden, dann fällt der linke Teil weg. Denn weil [i]minus mal minus = plus[/i] gilt, ist der linke Teil dann identisch mit dem rechten Teil der Ungleichung:[br][math]\Large \boxed{(h_n-p)^2\le c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Wenn man aus dieser Ungleichung die Gleichung [math](h_n-p)^2= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}[/math] erstellt und diese nach [math]p[/math] auflöst, dann erhält man zwei Zahlen als Ergebnis: Eine untere und eine obere Grenze eines Intervalls, in dem die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] im Rahmen der vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegen wird.[br][br]Das ist das gesuchte [b][color=#980000]Vertrauensintervall[/color][/b].

Diese Gleichung wird in der Schule eigentlich immer mit einem CAS gelöst: [br]Mit dem HP-Prime: [color=#0000ff]solve([/color] [math]\fgcolor{#0000FF}{(h_n-p)^2= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math] [color=#0000ff], [/color][math]\fgcolor{#0000FF}{p}[/math][color=#0000ff])[/color][br][br]Es geht aber auch händisch mit der pq- oder der Mitternachtsformel:[br][math]\begin{array}{ll}(h_n-p)^2&= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}\\&= \frac{c^2}n\cdot(p-p^2)\end{array}[/math][br][math]\Rightarrow h_n^2 -2\,h_n\,p+p^2= \frac {c^2}n\cdot p-\frac {c^2}n\cdot p^2[/math][br]Da es einfacher ist ohne Brüche zu rechnen, multiplizieren wir hier die Gleichung mit [math]n[/math]:[br][math]\Rightarrow h_n^2\,n -2\,h_n\,n\,p+n\, p^2= c^2\, p-c^2\, p^2[/math][br]Nun alle Terme auf eine Seite bringen und nach Potenzen von [math]p[/math] sortieren:[br][math]\Rightarrow n\, p^2+c^2\, p^2 -2\,h_n\,n\,p-c^2\, p+h_n^2\,n= 0[/math][br][math]p[/math] Ausklammern:[br][math]\Rightarrow (n+c^2)\,p^2-(2\,h_n\,n+c^2)\,p+h_n^2\,n= 0[/math][br]Nun kann man die Mitternachtsformel ([math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}[/math]) anwenden, um die Gleichung nach [math]p[/math] aufzulösen. Es geht auch mit der pq-Formel, aber dann müssten wir zuerst die ganze Gleichung normieren, d.h. durch [math](n+c^2)[/math] teilen. [br][math]\begin{array}{ll}[br]p_{1,2}&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{(2\,h_n\,n+c^2)^2\quad-\quad 4\,(n+c^2)\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}\\[br]&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{4\,h_n^2n^2+4\,c^2\,h_n\,n+c^4\,-\,4\,h_n^2\,n^2-4\,c^2\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}\\[br]&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{4\,c^2\,h_n\,n+c^4\,-4\,c^2\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}[br]\end{array}[/math][br]unter der Wurzel lässt sich noch ein [math]c^2[/math] ausklammern und als [math]c[/math] vor die Wurzel ziehen. Dann erhalten wir[br][br][math]\Large\boxed{ p_{1,2}=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm c\,\sqrt{4\,h_n\,n+c^2\,-4\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}}[/math]